- 题目描述
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：
2 <= n <= 58
- 解法一：数学归纳法
分析：
假设长度为n的绳子切成a段：n=n1+n2+...+na
求解的目标是：max(n1×n2×...×na)
首先回顾下算术几何均值不等式：当且仅当
n1=n2=...=na 时等号成立
然后这里就需要大量的数学推导了.....
将绳子按照x长度分成a段的话，n=ax,则乘积为x^a，此时
x^a = x^(n/x) = (x^(1/x))^n
由于n为常数，因此 x^(1/x)为最大值时，长度的乘积最大。
接着，可以将这个问题转化为求y = x^(1/x)的极大值问题，此时可以对x求导：
另导数为0， 此时有1-lnx=0，当且仅当x=e时有极大值点。
再来，可以很容易推导出，只有将绳子等分尽量多3的长度段有最大值，但是当分成长度为3还有余数时，此时有2种情况：
余一段为2，此时则直接保留为2的长度
余一段为1，此时要考虑把拿一段长度为3的和长度为1的一起拼成两段长度为2的，此时才是最大。
时间复杂度O(1)。
class Solution:
'''
用数学归纳法求解
'''
def cuttingRope(self, n: int) -> int:
max_long = 0
if n < 3:
return 1
if n == 3:
return 2
if n % 3 == 0:
max_long = 3 ** (n//3)
elif n % 3 == 2:
max_long = 2 * (3 ** (n//3))
else:
max_long = 2 * 2 * (3 ** ((n//3) - 1))
return max_long
- 解法二：动态规划
设 F(n) 为长度为 n 的绳子可以得到的最大乘积，对于每一个
F(n)，可以得到如下分解：
此时可以把求解
F(n) 的问题分解成求解 F(n−1) 的问题
直到求解到 F(2) 时，F(2)=1，递推回去，问题就得到了解决。
这里针对这种分治的思想，需要注意：我们每次将一段绳子剪成两段时，剩下的部分可以继续剪，也可以不剪。
当将一段长度为i的绳子从j出剪下时，此时有3种情况：
1)维持原状态
2)剪下来的部分为i-j，然后就不再剪了
3)剪下来的部分是i-j，然后对i-j继续剪。
此时建立一维数组dp
- 边界条件：dp[1] = dp[2] = 1，表示长度为 2 的绳子最大乘积为 1；
- 状态转移方程：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, j * dp[i - j]))，可以这样理解：
代码：
class Solution: ''' 动态规划解法 ''' def cuttingRope(self, n: int) -> int: dp = [0 for i in range(n+1)] dp[2] = 1 for i in range(3, n+1): for j in range(i): dp[i] = max(dp[i], max(j*(i - j), j * dp[i-j])) return dp[n]
时间复杂度O(n2)，空间复杂度O(n).
参考题解：
本博客仅用于个人学习。
n 1 +n 2 +...+n a ≥ a n 1 n 2 ...n a
推论一： 将绳子 以相等的长度等分为多段 ，得到的乘积最大。
作者：jyd链接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/solution/mian-shi-ti-14-i-jian-sheng-zi-tan-xin-si-xiang-by/来源：力扣（LeetCode）著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。