剑指 Offer 47. 礼物的最大价值（动态规划dp）

• 题目描述

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

 

示例 1:

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

这道题，第一想法就是用动态规划，也找到了转移方程，但是呢，就是实现的过程有问题，来我们看看题解大佬的清晰分析。

• 解法：动态规划

1.为什么想到用动态规划？

从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次 向右 或者 向下 移动一格、直到到达棋盘的右下角。根据题目说明，易得某单元格只可能从上边单元格或左边单元格到达。

 这一步是可以得到的，OK？

看，这是不是就是个动态规划典型情况？动态规划是把一个大问题拆解成一堆小问题，并且将一个问题拆成几个子问题，分别求解这些子问题，即可推断出大问题的解。

2.动态规划具有以下性质：

• 【无后效性】“未来与过去无关”，这就是无后效性。
• 【最优子结构】大问题的最优解可以由小问题的最优解推出，这个性质叫做“最优子结构性质”

我们可以定义状态dp,dp(i,j)代表从棋盘左上角开始，到达单元格(i,j)时能拿到礼物的最大累计价值。主要方法是每次通过改变grid单元格元素的值，将grid矩阵当作dp矩阵。（这里参考大佬的题解）

 代码

class Solution:
    def maxValue(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        if not grid:
            return 0
        for i in range(len(grid)):
            for j in range(len(grid[0])):
                if i ==0 and j == 0:
                    continue
                if i == 0:
                    grid[i][j] += grid[i][j-1]
                elif j ==0:
                    grid[i][j] += grid[i-1][j]
                else:
                    grid[i][j] += max(grid[i][j-1], grid[i-1][j])
        return grid[-1][-1]

时间复杂度O(MN)：分别为两个for循环遍历的矩阵长宽

空间复杂度O(1)：原地修改grid大小不用额外空间

• 优化

优化的目的是当grid很大，i=0或者j=0的情况仅仅占少数，相当于循环每轮都冗余了一次判断。因此，可先初始化矩阵第一行和第一列，再开始遍历递推。

class Solution:
    def maxValue(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        if not grid:
            return 0
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        for j in range(1, n): #初始化第一行
            grid[0][j] += grid[0][j-1]
        for i in range(1, m): #初始化第一列
            grid[i][0] += grid[i-1][0]

        for i in range(1, len(grid)):
            for j in range(1, len(grid[0])):
                    grid[i][j] += max(grid[i][j-1], grid[i-1][j])
        return grid[-1][-1]

参考：https://leetcode-cn.com/problems/li-wu-de-zui-da-jie-zhi-lcof/solution/mian-shi-ti-47-li-wu-de-zui-da-jie-zhi-dong-tai-gu/