数据结构分类中有一种很常见的结构，那就是树，树的分类很多种，包括二叉树、二叉搜索树、红黑树、B+树等等，但大多数都是基于二叉树的衍生结构，所以今天来学习下二叉树。
什么是二叉树
定义：二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作 “左子树”（left subtree）和 “右子树”（right subtree），最顶层的节点叫做 "根" 。
逻辑上，二叉树可以分成五种形态，分别是：
1） 空二叉树
2） 只有一个根节点的二叉树
3）只有跟和左子树
4）只有跟和右子树
5）根和左右子树 (完全二叉树)
注：二叉树是递归定义的，也就是理论上每个节点都可以无限延伸二叉树的结构，所以每个节点都有左右子树子分，上面的形态只是一种简单的展示。
二叉树的性质
性质1：二叉树中所有结点的度数均不大于2
性质2：二叉树第i层上的结点数目最多为2i-1(i>=1)
性质3：深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k>=1）
性质4：包含n个结点的二叉树的高度至少为(log2n)+1
性质5：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1
性质4的证明：
(1) 基于性质1，我们知道二叉树的节点度数最多不大于2，所以这里假设n0表示度为0的结点个数， n1表示度为1的结点个数，n2表示度为2的结点个数。三类结点加起来为总结点个数，于是便可得到：n=n0+n1+n2
(2) 基于性质1，我们又可以得出，树的总度数为度数0，1，2的度数加上根节点，也就是 n=n0 * 0 + n1 * 1 + n2* 1 + 1
结合上面的（1） 和 （2）的证明就可以得出 n0=n2+1 。
二叉树的遍历
在将二叉树的遍历前，我们需要先实现二叉树，根据二叉树的特点，其包含了节点本身的数据，左子树和右子树，用Java代码可以这样表示
public class Node {
/* * 一个二叉树包括 数据、左右孩子 三部分 */
private int mData;
private Node mLeftChild;
private Node mRightChild;
public Node(int data, Node leftChild, Node rightChild) {
mData = data;
mLeftChild = leftChild;
mRightChild = rightChild;
}
public int getData() {
return mData;
}
public void setData(int data) {
mData = data;
}
public Node getLeftChild() {
return mLeftChild;
}
public void setLeftChild(Node leftChild) {
mLeftChild = leftChild;
}
public Node getRightChild() {
return mRightChild;
}
public void setRightChild(Node rightChild) {
mRightChild = rightChild;
}
｝
每一个二叉树的节点都可以用 Node 类表示，下面开始讲述其遍历方式。
前面说了，二叉树是一种递归的结构，每个节点都可以有左右子树的结构，而二叉树的遍历也是个递归遍历的过程，使得每个节点有且只有被访问一次。
按照遍历结构的顺序，一般将二叉树的遍历分为三种：
- 先序遍历
- 中序遍历
- 后序遍历
先序遍历
遍历方式：
- 先访问根节点
- 再先序遍历左子树
- 再先序遍历右子树
代码实现：
public void firstOrder(Node node){
if (node == null){
return;
}
showData(node);
firstOrder(node.getLeftChild());
firstOrder(node.getRightChild());
}
//输出节点数据
public void showData(Node node){
if (node == null){
return;
}
System.out.println(node.getData());
}
中序遍历
遍历方式：
- 先中序遍历左子树
- 再访问根节点
- 再中序遍历右子树
代码实现：
public void MediumOrder(Node node){
if (node == null){
return;
}
MediumOrder(node.getLeftChild());
showData(node);
MediumOrder(node.getRightChild());
}
后序遍历
遍历方式：
- 先后序遍历左子树
- 再后序遍历右子树
- 最后访问根节点
代码实现：
public void LastOrder(Node node){
if (node == null){
return;
}
LastOrder(node.getLeftChild());
LastOrder(node.getRightChild());
showData(node);
}
以下面的二叉树为例，三种不同的遍历结果为
先序遍历： 1 2 4 5 7 3 6
中序遍历： 4 2 7 5 1 3 6
后序遍历： 4 7 5 2 6 3 1
说完二叉树的基本知识后，下面介绍下二叉树的几种延伸结构。
特殊的二叉树
下面介绍两种特殊的二叉树，分别是满二叉树、完全二叉树。
满二叉树
定义：一颗高度为k，拥有2^k-1 个节点。就是说除了叶子节点，每个节点都有左右子树。
示意图如下：
完全二叉树
完全二叉树跟满二叉树很类似，但有些许不同，需要满足以下的条件：
- 所有叶子节点都出现在 k 或者 k-1 层，而且从 1 到 k-1 层必须达到最大节点数；
- 第 k 层可以不是满的，但是第 k 层的所有节点必须集中在最左边。
给张示意图看下两者的区别：
最后
了解两种特殊的二叉树后，我们来做一道算法题巩固一下。
在笔试过程中经常会见到的，就是问你怎么判断一颗二叉树为完全二叉树？
思路：根据完全二叉树的特点，我们知道最后一层的所有节点都在最左边，因此可以按照这样的思路来解题，那就是：在层序遍历的过程中，找到第一个非满节点。满节点指的是同时拥有左右孩子的节点。在找到第一个非满节点之后，剩下的节点不应该有孩子节点；如果有，那么该二叉树就不是完全二叉树。
根据这样的思路，我们可以借助队列，对完全二叉树做广度遍历的方式，下面展示一下代码实现：
public class CompleteTreeChecker {
//辅助空间，队列
private LinkedList<Node> queue = new LinkedList<Node>();
//第n层最右节点的标志
private boolean leftMost = false;
public boolean processChild(Node child) {
if(child != null) {
if(!leftMost) {
queue.addLast(child);
} else {
return false;
}
} else {
leftMost = true;
}
return true;
}
public boolean isCompleteTree(Node root) {
//空树也是完全二叉树
if(root == null) return true;
//首先根节点入队列
queue.addLast(root);
while(!queue.isEmpty()) {
Node node = queue.removeFirst();
//处理左子结点
if(!processChild(node.getLeftChild()))
return false;
//处理右子结点
if(!processChild(node.getRightChild()))
return false;
}
//广度优先遍历完毕，此树是完全二叉树
return true;
}