自动控制理论根轨迹方法学习笔记

note 2020-07-26搬运 下面的内容来自我的csdn博客

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根轨迹法（又称艾文斯方法）Root Locus Techniques

• 根轨迹的概念。是开环系统某一参数从零变化到无穷时，闭环系统特征方程的根在s平面上变化的轨迹。

• 根轨迹增益。设系统传函为$G(s)$,并可表示成下列零极点形式：

\[ G(s)=\frac{K^*\prod\limits_{i=1}^{m}(s-z_i)}{\prod\limits_{j=1}^{n}(s-p_j)} \]

则称$K^$ 为系统的根轨迹增益。如果$G(s)$是闭环传函，则$K^$是闭环根轨迹增益；如果$G(s)$是开环传函，则$K^*$是开环根轨迹增益。

• 闭环零点、极点和开环零点、极点之间的关系

• 根轨迹方程。系统闭环特征方程的根满足

\[ 1+G(s)H(s)=0 \]

绘制根轨迹的基本法则

$K^*\(从0变化到\)+\infty$时，系统的根轨迹称为常规根轨迹或180°根轨迹。

$K^*\(从\)-\infty$变化到0时，系统的根轨迹称为零度根轨迹。

• 概略绘制常规根轨迹的基本法则 7条

• 概略绘制零度根轨迹的基本法则 7条

参数根轨迹和根轨迹簇

当系统开环传函的某一零点的值或某一极点的值变化，或者分子分母多项式的某一系数变化时，系统的闭环根轨迹称为参数根轨迹。

• 等效变换
• 概略绘制参数根轨迹
• 根轨迹簇。当系统中多个参数变化时，选取某一个参数作为变化参数，对于其余可变参数的每一组值，都可作出相应的参数根轨迹，这样获得的一簇根轨迹就是根轨迹簇。（控制变量法）

延迟系统根轨迹的绘制

• 延迟系统的相角条件和模值条件
• 延迟系统根轨迹的主要特点
• 概略绘制延迟系统根轨迹的基本法则 7条

系统性能的分析和估算

• 主导极点和偶极子。

  • 主导极点是闭环极点中离虚轴最近，附近又无零点的实数极点和共轭复数极点，对系统动态性能的影响最大，起着主要的作用。一般非主导极点的实部比主导极点的实部大3~5倍以上。

  • 当某个闭环极点和某个闭环零点间距很近，它们之间的距离比它们到虚轴的距离小于一个数量级时，称这对零极点为偶极子。偶极子若不十分靠近虚轴，可近似看成闭环零极点对消，因此对系统动态过程的影响可忽略不计。

• 用低阶模型近似估算系统性能

绘制概略根轨迹时要注意的7处细节：

1. 根轨迹的起点和终点
2. 根轨迹的对称性和分支数
3. 根轨迹的渐近线
4. 实轴上的根轨迹区间
5. 根轨迹的分离点
6. 根轨迹的起始角和终止角
7. 根轨迹与虚轴的交点

     

本来想做个输入零极点画出阶跃响应和根轨迹等等分析图的演示程序来着，

在网上找了找，发现MATLAB的SISO工具挺好用 参考https://max.book118.com/html/2015/1115/29608675.shtm SISO工具默认的框图结构是:

我自己做的一个例子的截图如下：（F，G和H保留默认的1）

     

读了钱学森的《工程控制论》的4.4艾文斯方法 这一节，下面是有选取的摘抄：

里面提到，

\[ \frac{\prod\limits_{j=1}^{n}(s-p_j)}{\prod\limits_{i=1}^{m}(s-z_i)}=-KA \]

如果先左右取对数，然后再用$2\pi$除一下，有

\[ W(s)=\frac{1}{2\pi}\sum\limits_{i=1}^{n}log(s-p_i)-\frac{1}{2\pi}\sum\limits_{j=1}^{m}log(s-z_i)=\frac{1}{2\pi}logKA+i(\frac{1}{2}) \]

其中利用了$e^{i\pi}=-1$

这样一个数学表达式可以有很多种不同的物理解释。一个很明显的解释就是把$W(s)\(看作是完全不可压缩的流体的一个二维无旋运动的复势函数。如果\)\phi(\lambda,\omega)\(是势函数，\)\psi(\lambda,\omega)$是流函数，那么就有

\[ W(s)=\phi(\lambda,\omega)+i\psi(\lambda,\omega) \]

根轨迹就是流函数取常数值1/2的那些曲线；

所以根轨迹就是由1/2流线的各个分支所组成的。沿着这条流线势函数的值是逐点改变的，它等于$\frac{1}{2\pi}logKA$

这个流动是由n个单位强度的源点$p_1$,\(p_2\),...$p_n$和m个单位强度的汇点$z_1$,\(z_2\),...$z_n$所构成的。

     

2020-03-16补充： 这是流线

这是siso工具画出来的根轨迹

等高线和流线

2021-12-18补充： 如果提前了解过Gauss-Lucas 定理会容易理解一些。 在平面上不全共线的$n$个点$a_1,...,a_n$处放置若干单位正电荷，这决定了一个平面上的电势函数$V(z)\((标量)和一个电场\)\bold(z)$(二维向量场)。在忽略物理常数的意义下有

\[ V(z)=\sum_{i=1}^{n} \ln \left|z-a_{i}\right|=\ln \prod_{i=1}^{n}\left|z-a_{i}\right| \]