行列式的几何直观

note 2020-07-26搬运 老早以前写的，很大一部分就是摘抄课本，语言稚嫩且缺少条理,格式七拼八凑不够正式

摘要

由平行四边形面积、平行六面体体积、行列式之间的简单联系谈及盒维数、微分是线性映射、度规系数、重积分变量代换定理。夹杂一些几何直观。

引言

在笛卡尔坐标系下，由矢量代数或其他什么方法容易得出：以向量$（a,b）$, $(c, d)\(为邻边的平行四边形面积为\)|a d-b c|\(；以向量\)（a ,b ,c）\(,\)(d ,e ,f )$ ,$(g ,h , i )$为平行六面体某顶点相交的三条棱，则平行六面体体积是$Abs[\left|\begina\ b\ c\ d\ e\ f \ g\ h\ i \end \right|]$.形式上就像相应的2阶行列式、3阶行列式再套上绝对值.(对有向面积、体积求绝对值)

对这一联系的本原的简单探索引导我写下此文.

正文

我们知道数学概念不是凭空定义出来的，行列式的定义也必有其道理所在.

从一个与行列式关系密切的定理出发：

在线性代数中我们有定理：对可逆线性变换$\bold$，有体积关系：

\(μ(\bold{A}(C))=| det\bold{A}| μ(C)\)

这里$\mu$是若尔当体积（即用不断细小的“网格”测出来收敛的“体积”）（感兴趣还可以移步若尔当容度、盒维数）

举个例子：

在笛卡尔坐标系下，由单位基矢$\hat,\hat,\hat$ “围成”的立体体积是1；对点$（1,0,0）^T$，\(（0,1,0）^T\)，$（0,0,1）^T$做A对应的线性变换(左乘A对应的3*3矩阵)，得到对应的，\(\bold{x1}=（a_{11},a_{12},a_{13}）^T\), \(\bold{x2}=(a_{21},a_{22},a_{23})^T\),\(\bold{x3}=(a_{31},a_{32},a_{33})^T\).而O经过变换仍停留在O；应用介绍里的公式：向量Ox1,Ox2,Ox3围成的立体体积为|a11(a22a33-a23a32)+a12(a23a31-a21a33)+a13(a21a32-a22a31)| =|det（A）|.

结合线性变换的线性性质（几何直观上体现为翻转、旋转、剪切、伸缩等），我们似乎有（猜测），相应的n维空间有向体积的伸缩因子正是行列式，对原像区域上不同的地方（小块）的伸缩因子都等同。（这也可以从几何直观上来看）事实上这也就是正文开始提到的定理.这也就回答了正文开始的问题.

更长远地，

我们知道：\(\fbox{微分是线性映射}\)

对于一个函数f：\(R^N→R\)

其弗雷歇微分（一种微分符号而已）被称为一个线性映射：

\(d f(x):R^N→R\)

它对每一个$\vec\in R^{N$分配了一个实数$d f(x)\vec\(,并对所有\)\alpha,\beta\in R$和所有$\vec,\vec\in R}N$满足线性条件

\(df(x)(\alpha\vec{h}+\beta\vec{k})=\alpha df(x)\vec{h}+\beta df(x)\vec{k}\) 【2】

由以上思想可知，一个映射$\Phi$ 的作用在一点$x_0$邻域范围内可以近似看做是一个局部线性映射$L(x)=\Phi(x_0)+\Phi^{'}(x)(x-x_0)$.

稍微精确一些描述，取定小立方体C 的中心点$x_0$，那么当C 充分小时，线

性变换$L(x)=\Phi(x_0)+\Phi^{'}(x)(x-x_0)\(与变换\)\Phi(x)$相差高阶无穷小量。也就说处理问题时，Φ(x)局部上可由线性变换近似代替，微分的精华思想也在于此。

如下图所示，直观上，当网格取得足够小时，网格的“扭曲”程度就不那么严重，就可以看做十分小的局域的线性映射。

(图片来自【1】)

事实上，我们有重积分代换定理：

设$\Omega\sub R_m$是一个开集，$\Phi：\Omega\rightarrow R_m$是一个连续可微映射，$E\sub\Omega$是一个闭若尔当可测集。如果

(1)雅可比行列式$det\ D(\Phi)\neq0,\forall t\in int\ E$

(2)$\Phi$在$int\ E$中是单射。

那么$\Phi(E)\(也是一个闭若尔当可测集，并且对于任何\)\Phi(E)$上连续的函数$f(x)$都有

\(\int_{\Phi(x)}f(x)dx=\int_Ef(\Phi(t))|det(D(\Phi(t)))|dt\)

其中$D(\Phi(t))\(表示雅可比矩阵，例如二维的例子：\)(x,y)\(映射到\)(u,v)\(，\)\left(\begin \frac{\partial u}{\partial x}\ \frac{\partial u}{\partial y}\ \frac{\partial v}{\partial x}\ \frac{\partial v}{\partial y}\end \right)$

定理的严格证明已经超出了笔者的能力范围，但是证明过程中闪现出的灵感火花，在思维疆域的驰骋让人神往。（感兴趣可以移步数分教材或【1】）

相关联的是矢量理论中三维空间不同正交曲线坐标系下的“体积”变换：

在这样的坐标系下，部分坐标可能是角度，由角度的变换量求得长度的变换量需要引入度规系数(或称尺度因子)\(h\):

\[ \begin{equation} \frac{\partial \bold{r_P}}{\partial v_i}=h_i\widehat{v_l}(i=1,2,3) \end{equation} \]

$\bold$是位置矢量，$v_i$是正交曲线坐标系下的相应坐标

平凡地，\((v_1,v_2,v_3)=(x,y,z),(h_1,h_2,h_3)=(1,1,1)\)

(图片来自【3】)

\(|J|=h_1h_2h_3\)

参考

【1】电子书《我的数学分析积木》（修订版） ，SCIbird

【2】《数学指南——实用数学手册》，埃博哈德·蔡德勒，科学出版社

【3】《矢量分析新理论及其应用》 盛克敏 唐晋生 冯 菊 ，科学出版社

感谢 David Clay《线性代数及其应用》 ,机械工业出版社

在思想上的启发。

除了指明的，其余图片来自网络。