【读书笔记】有序分拆和无序分拆的结论速览

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composition是带序的分拆（不允许和数有0） partition 是不带序的分拆（不允许和数有0） Cyclic compositions (wheels)是说有序分拆，然后做个圆排列 Partitions into distinct summands. 字面意思

主要的研究方法是：

由组合对象间的关系推出或者直接写出OGF

然后如果好反演的话找到通项公式$a_n=[z^n]f(z)$，不好反演就算了

接着通项简单的话直接分析渐进性质，否则用分析方法研究$f(z)$得到$a_n$的渐进性质

upd 2021-03-29 今天读了Stanley的《计数组合学·第一卷》第一章的开始的部分，里面提到了如何计数有如下的几种常见方法： 1.如果简单，直接写出显式公式 2.写出递推式和边界条件，也可以算是得到了可靠的结果 3.给出它关于变量的渐进估计 4.用生成函数描述

 

EXAMPLE I.4. Compositions with restricted summands

EXAMPLE I.5. Partitions with restricted summands (硬币找零问题）

(32)这里按我的想法解释的话，展开是$(1+x+x^2+...)(1+x2+x^4+x6+...)(1+x^3+x6+x^{9+...)...(1+x}r+x^{2r}+x^{3r}+...)$ 你第一个括号里拿的是$x^{4$,说明你的分拆里有4个1;...;你最后一个括号里拿的是$x}{2r}$,说明你的分拆里有2个r

EXAMPLE I.6. Compositions with a fixed number of parts.

EXAMPLE I.7. Partitions with a fixed number of parts

结论表格

提醒一下，那个无限制的Composition个数是$2^$，智力题，想象$n-1$个隔板。拿mma求解可以用Combinatorica程序包里的Compositions函数 提醒一下，那个n的k部分Partition个数是$[z^n]zk \prod\limits_^(1-zm)^{-1}$。mma代码就是IntegerPartitions[2010, {3}];Length@% 提醒一下，如果记$p(n,k)$是n的k部分的partition的方案个数，那么有$p(n,k)=p(n-1,k-1)+p(n-k,k)$.证明是考虑最小的那个和数，如果是1对应于$p(n-1,k-1)$这一项，如果>1对应于$p(n-k,k)$这一项.更详细的解释看这个帖子。

最后还有一些

I.14写成显式公式就是

\[ \sum_{j}(-1)^{j}\left(\begin{array}{l} k \\ j \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} n-r j-1 \\ k-1 \end{array}\right) \]

I.15用q-analogue很容易理解，可以看我写过的这篇文章

SEE ALSO

Restricted Weighted Integer Compositions and Extended Binomial Coefficients Compositions of n with parts in a set

书用的是Analytic Combinatorics

资料来自网络