非线性系统理论
非线性系统的一般概念
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典型非线性
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死区
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饱和
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间隙
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摩擦
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继电特性
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继电特性使得系统产生振荡，死区使得系统存在稳态误差，饱和使得系统的开环增益在饱和区下降，间隙降低系统的跟踪精度，摩擦造成系统低速运动的不平滑性。
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非线性系统的运动特点：稳定性；运动形式；自激振荡；频率响应
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稳定性
非线性系统稳定性不仅与系统结构参数有关，而且与输入信号和初始条件有关(这是线性系统稳定性不要考虑的)。
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运动形式
线性系统在任何初始偏移下的时间响应曲线都具有相同的形式，非线性系统则不然。当初始偏移变化以后，其时间响应曲线可以发生很大变化，可能由原来的振荡收敛形式变为非周期形式，甚至出现发散的情况。
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自激振荡
对于非线性系统，由于振荡的振幅将受到非线性特性的限制，即使没有受到外界作用，也可能产生一定频率和振幅的稳态振荡。有时要避免，有时要利用。
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频率响应
又称正弦稳态响应。对于非线性系统，输入信号是正弦信号时，其稳态输出通常是含有高次谐波分量的非正弦周期函数。
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非线性系统所研究的问题及方法
主要研究自激振荡问题和利用非线性特性改善系统性能。
分析方法有：
相平面法——推广时域分析方法的一种图解分析法；
描述函数法——本质一次谐波近似法；
逆系统法——运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，设计外环控制网络。
相平面基础
- 相平面、相点、相轨迹
- 相轨迹的绘制方法
- 相轨迹的特点
- 线性系统的相轨迹
- 由相轨迹求某个过程所用时间
非线性系统的相平面分析
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非线性系统的相轨迹
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极限环
若非线性系统的相轨迹在相平面图上表现为一个孤立的封闭曲线，所有附近的相轨迹都渐进地趋向或离开整个封闭的曲线，这个封闭曲线被称为极限环。
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相轨迹的跳跃
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开关线变化对运动性能的影响
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有外作用时相轨迹的研究
描述函数法基础
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谐波线性化
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描述函数的定义
描述函数\(N\)定义为非线性输出的基波分量与输入正弦量的复数比
\(N=\frac{Y_1\ang\phi_1}{X\ang0}\)
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典型非线性特性的描述函数
- 计算在\(x=Xcos(\omega t)\)作用下的输出波形\(y(t)\)
- 计算\(y(t)\)的Fourier级数，找到\(A_1\)和\(B_1\) 基波分量\(y_1(t)=A_1cos(\omega t)+B_1sin(\omega t)\) 写成形式\(Y_1cos(\omega t+\phi_1)\)
- 复数\(N=\frac{Y_1\ang \phi_1}{X\ang0}\)
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描述函数法的物理意义
线性环节的频率特性函数与输入信号振幅无关，
非线性环节的描述函数是输入信号幅值的函数\(N(A)\)。
非线性系统的描述函数法分析
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可以证明，描述函数法是非线性特性在均方差意义下的最优逼近。
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描述函数法的应用前提 (注意!!!!)——或者说描述函数法合理性的简单论证
设非线性系统经过变换和归化，可表示为非线性部分\(N\)和线性部分G相串联的典型反馈结构。
描述函数法基于这样的假设，即当系统处于自激振荡时，非线性部分和线性部分的输入、输出均为同频率的正弦信号。在这种条件下，非线性部分的特性可用描述函数表示，线性部分的特性可用频率特性表示，从而建立起非线性系统自振时的理论模型。
自振是由非线性系统内部自发的持续振荡，和外作用无关。假设自振时非线性部分的输入端为正弦信号\(x(t)=Xsin(\omega t)\) ，其输出除基波分量外，还有高次谐波分量。一般，高次谐波的振幅较基波振幅小，而在通过线性部分之后，由于线性部分的低通滤波效应，将使高次谐波分量进一步衰减，致使线性部分的输出可以认为只是基波分量的响应。
综上所述，应用描述函数法分析非线性系统的前提是：
- 非线性特性具有奇对称性；(保证输出不含直流分量)
- 非线性系统可以归化为图9-5的典型结构；
- 非线性部分输出\(y(t)\)中的基波分量最强； (这样的话近似就显得合理)
- 线性部分\(G(j\omega)\)的低通滤波效应较好。
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周期运动解与自激振荡
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稳定性分析
定义一个非线性系统是稳定的：本来在平衡位置，在受到扰动后，能够恢复原来的平衡位置
定义一个非线性系统是不稳定的：本来在平衡位置，受到扰动后，其输出将偏离，不能复原原来的平衡位置
介于稳定与不稳定之间的状态就是临界状态，周期运动解就是一种临界状态。
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结构规化问题——即化简为典型结构的方法