度量空间在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
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如果对于集合的元素，定义任何两个元素之间有距离，那么这个集合就是度量空间。这个距离的具体定义是：距离是一个实函数，其自变量就是集合中的任意两个元素，那么这个实函数定义的时候并不给出具体公式，而是给出实函数满足的性质，就是非负性，三角不等式，两个元素相等的时候，距离为0，也就这3个性质。
只要满足上面3个性质的任何实函数都是度量空间的距离，因此定义不同的距离，对应不同的度量空间。我们特别关注三角不等式 。可以看出任何距离都是两个元素的实函数，至于这些元素具体是什么，并不考虑；其次这个不等式对于集合中的任何两个元素都成立。还有一个特别指出，一旦集合中定义了距离就是度量空间了，而一旦是度量空间，那么其中的元素名称升级了，可以称为点了，而度量空间中一些元素的集合称为点集，这样一来，怎么感觉度量空间是从实数直线衍生出来的呢？直线上的点集和度量空间的点集类似啊！的确如此，就这么来的，其实实数直线不就是定义了距离的实数集合嘛！下面我们看看赋范线性空间。(链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/42381836)
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距离则是用于表示两个物体间的远近，是存在于两个物体之间的一种关系，我们就可以对集合中的每一对元素指定一个数字，这个数字就代表两个物体之间的距离。需要注意的是，在现实生活中，距离都是有米、厘米之类的单位，而度量空间中则不存在这些单位，所有的距离都是实数。实际上，距离单位主要是提供了一个比较距离的基准，而实数中的1则天然的可以担当这个责任。最终，我们可以得到如下对度量空间的定义：
定义一：假设 是一个非空集合，而metric
是一个
的函数，且对于任意的
具有以下性质：
，当且仅当
时等号成立；
；
。
即是一个度量空间。
可以看到，第一点保证了任意两点之间的距离大于等于0，而第二点则保证两点之间的距离只有一个值，第三点则保证了三角形的两边之和大于等于第三条边。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/50118911
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1.距离空间（度量空间）
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注意到这里有两个概念：n维欧几里得空间，度量
n维欧几里得空间：我们能直观地理解3维欧几里得空间，比如我们知道3维欧氏空间任何一点都能用一个3个实数组成的坐标表示。如果推广到n维上，就变成了每个点用n个实数的坐标表示。另外，3维欧几里得空间的度量(距离)也能推广到n维上。
度量：度量就是距离，但是空间本来没有距离。比如我构造一个空间A={题主，答主，回复者，知乎管理员}，这个空间一开始就没有距离的概念。同样的，我们生活的3维空间一开始也没有距离的概念，每个点都可以看做孤立的点，整个空间可以看做这些点的集合。
那距离是什么呢？距离是人类加在空间上的一种关系：任意两个点映射到一个实数。任何满足条件的这种映射都可以叫距离(正定性，对称性，三角不等式)。比如对于刚才的空间A，我定义一个距离：同一个人距离等于0，不同人的距离等于1。这就构成了一个有距离的空间(度量空间)。A空间中，以题主为球心，半径为1的球面就是{答主，回复者，知乎管理员}
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