数论进阶-Preknowledge
参考资料：洛谷网校2018夏季省选基础班SX-3数论进阶课程及课件
一、整除与取整除法
1.1 定义
1、整除
(forall~x,y~in~Z^+,) 若 (exists~k~~,~~s.t.~y~=~kx)，则称 (y) 是 (x) 的倍数，(x) 整除 (y)。记做 (x~|~y)
2、取整
(forall~x~in~Q)，(lfloor x floor) 代表不大于 (x) 的最大整数，(lceil x ceil) 代表不小于 (x) 的最大整数。
3、取整除法
(forall~x,y~in~Z)，(left lfloor frac{y}{x} ight floor) 代表 (y) 关于 (x) 的带余除法表达式中 (x) 一项的系数
1.2 性质
1、取整除法引理 ((1.2.1))
(forall~x,y~in~Z)，(left lfloor frac{y}{x} ight floor~ imes~x~leq~y)
证明：
根据取整除法的定义易得
等式两侧同乘 (x) 得
(leftlfloor frac{y}{x} ight floor~ imes~x~leq~frac{y}{x}~ imes~x~=~y)
证毕
2、倍数个数定理 ((1.2.2))
(forall~n,d~in~Z^+)，在 ([1,n]) 中，共有 (left lfloor frac{n}{d} ight floor) 个数是 (d) 的倍数
证明：
将 (d) 的倍数从小到大排序，分别为 (x_1~,~x_2~,dots~x_k)，则显然 (x_i~=~i~ imes~d)。于是其中最大的数字 (x_k~=~k~ imes~d)。
若 (k~<~left lfloor frac{n}{d} ight floor)，设 (k'~=~leftlfloor frac{d}{n} ight floor) 根据引理 (1.2.1)，(d~ imes~k'~leq~n) 且 (k~ imes~d~<~k'~ imes~d)，这与 (x_k) 是最大的数字矛盾
若 (k~>~left lfloor frac{n}{d} ight floor)，根据引理 (1.2.1)，(d~ imes~k~>~n)，不合要求
于是 (k~=~left lfloor frac{n}{d} ight floor)。
证毕
3、商的个数定理 ((1.2.3))
(forall~n~in~Z^+)，则 (d~in~[1,n]) 时 (left lfloor frac{n}{d} ight floor) 的取值共有 (O(sqrt{n})) 种
证明：
分两种情况，当 (d~leq~sqrt{n}) 时，(d) 共有 (O(sqrt{n})) 种取值
因为对于 (n) 的一个因数 (x)，必然能找到一个数 (y) 使得 (x~ imes~y~=~n)，这样的 (x,y) 是一一对应的，故而对于每个大于 (sqrt{n}) 的因数 (x)，必然存在一个 (y~,s.t.~~x~ imes~y~=~n)。
因为 (y~>~sqrt{n})，所以 (x~<~sqrt{n})。这样的 (x) 共有 (O(sqrt{n})) 种，由一一对应关系， (y) 也有 (O(sqrt{n})) 种。于是总的取值共有 (O(sqrt{n})) 种。
证毕
4、例题
Description
给出一个 (n)，求 (sum_{i=1}^{n}~left lfloor frac{n}{i} ight floor)。(n~leq~10^{12})
Solution
既然商只有 (O(sqrt{n})) 个，于是考虑直接枚举商。考虑枚举商等价于对每个商 (j) 枚举每一个最小的 (i) 使得 (j~=~left lfloor frac{n}{i} ight floor)。考虑最大的满足上式的 (k)，则 (k~=~left lfloor frac{n}{j} ight floor)。将在下方给出证明。则商为 (j) 时最答案的贡献是 ((k~-~i~+~1)~ imes~j)。最小的 (i) 显然为 (1)，如果求出了最大的 (k)，则对应下一个商的 (i) 显然为 (k~+~1)。根据定理 (1.2.3)，时间复杂度 (O(sqrt{n}))。
下面证明最大的 (k) 使得 (j~=~left lfloor frac{n}{k} ight floor) 的值为 (left lfloor frac{n}{j} ight floor)：
考虑当 (k~,~j~in~Q) 时，(j~=~frac{n}{k}) 的图像是一个反比例函数。当等号右侧改成取整后，相当于所有的 (j) 都向下移到了最靠近的纵坐标为整数的点上。于是 (k~ imes~j~leq~n)。则 (k~leq~left lfloor frac{n}{j} ight floor)。最大的 (k) 显然是 (left lfloor frac{n}{j} ight floor)
证毕。
二、同余
2.1 定义
(forall~x,y,p~in~Z^+)， 若 (x~mod~p~=~y~mod~p)，则称 (x,y) 在 模 (p) 域下同余，记为 (x~equiv~y~pmod p)
2.2 性质
同余式支持同余号两侧同加、减、乘。同时具有对称性，自反性，传递性。
(x~equiv~y~pmod p) 的另一表达是 (p~|~(x-y))。(不妨设(x~geq~y))
三、剩余系
3.1 完全剩余系
对于一个正整数 (n)，模 (n) 意义下的完全剩余系为正整数集全体对 (n) 取模的结果的集合，记为 (Z_n)
一般的，(Z_n~=~{0~,~1~,~2~,~dots~,n~-~1})
3.2 简化剩余系
对于一个正整数 (n)，模 (n) 意义下的简化剩余系为模 (n) 意义下的完全剩余系中与 (n) 互质的元素的集合，记为 (Z_n^*)
于是我们得到了欧拉函数的另一种表示：(phi(n)~=~|Z_n^*|)
四、逆元
定义略
4.1逆元存在的定理(4.1.1)
(a) 在 模 (n) 意义下存在逆元当且仅当 (a~perp~n)，我们约定数论中 (a~perp~b) 意为 (a) 和 (b) 互质
证明：
设 (ax~equiv~1~pmod n) 。本式可以写成 (ax~mod~n~=~1)假设 (a) 和 (n) 有共同因子 (p~(p~>~1)) ，则一定有 (p~|~(ax~mod~n))。又因为 (p~>~1)，(ax~mod~n~=~1)，产生矛盾。于是一定是一定满足 (a~perp~b)。
证毕
五、模意义下的幂次
5.1 次方同余一的存在性((5.1.1))
(forall~a,n~in~Z^+~,s.t~~a~|~n)，则一定 (exists~k~>~0~,~~s.t.~~a^k~equiv~1~pmod n~)
证明：
由 (a~|~n)，得 (forall~k~in~Z^+,(a^k~mod~n)~in~Z_n^*)。由于有无穷多个 (a^k)，且 (Z_n^*) 大小有限，于是一定存在 (i~>~j~land~a^i~equiv~a^j~pmod n)。两侧同乘 (a^j) 的逆元，则 (a^{i-j}~equiv~1~pmod n)。
证毕
5.2 阶的定义
(forall~a,n~in~Z^+,~s.t.~~a~|~n)，定义满足 (a^k~equiv~1 pmod n) 的最小正整数 (k) 为 (a) 在 模 (n) 意义下的阶，记为 (<a>)。
5.3 阶的性质
在模 (n) 意义下一定有 (<a>~|~phi(n))。其中 (phi) 代表欧拉函数
证明：
反证法，假设 (<a>~ mid~phi(n)) 。根据欧拉定理，有 (a^{phi(n)}~equiv~1~pmod n) 。根据阶的定义，有 (a^{<a>}~equiv~1~pmod n)。于是显然有 (a^{phi(n) mod <a>}~equiv~1~pmod n) 且 (phi(n)~mod~<a>~ eq~0)。根据带余除法， (phi(n)~mod~<a>~<~<a>)。这与 (<a>) 是最小的满足 (a^k~equiv~1~pmod n) 的整数 (k) 矛盾。
证毕。
5.4 原根
若 (<a>~=~phi(n))，则称 (a) 是 (n) 的原根。