【区间DP】【lgP3146】248

传送门

Description

给定一个1*n的地图，在里面玩2048，每次可以合并相邻两个（数值范围1-40），问最大能合出多少。注意合并后的数值并非加倍而是+1，例如2与2合并后的数值为3。

Input

输入的第一行是一个数字n，代表地图大小。然后n行，i+1行代表第i个数的大小

Output

输出仅一行，为最大能合并出的大小

Hint

1<=n<=248，不保证所有的数字能被合成完

Sample Input

4
1
1
1
2

Sample Output

3

solution

典型的区间DP。首先考虑区间dp最普通状态定义：用f[i][j]表示区间[i,j]所能合成的最大答案，转移为f[i][j]=max{f[i][k]+1|当且仅当f[i][k]==f[k+1][j]}。输出f[1][n]，这么做本题存在缺陷：在转移时，无法保证区间f[i][j]的最大值在所需要的左（右）端点处被取到。例如：观察线段

此时f[1][3]=5,f[4][6]=5，但是无法进行合并，因为[1,3]等于5的位置在左侧，与[4,6]并不直接相连。

考虑增加维度，当前转移为n^3，增加维度时间爆炸，否定

考虑限制状态，记f[i][j]为区间[i,j]恰好能够合成的最大值，每次转移维护ans。转移同上。可行

　　对于区间[i,j]的最大值一定可以由其两个子区间的最优解转移得到。

　　证明：手推可能hack的情况，发现显然。

Code

#include<cstdio>
#define maxn 250

inline void qr(int &x) {
    char ch=getchar();int f=1;
    while(ch>'9'||ch<'0')    {
        if(ch=='-')    f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')    x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    x*=f;
    return;
}

inline int max(int a,int b) {return a>b?a:b;}
inline int min(int a,int b) {return a<b?a:b;}

inline void swap(int &a,int &b) {
    int c=a;a=b;b=c;return;
}

int n,num[maxn],frog[maxn][maxn],ans;

int main() {
    qr(n);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        qr(num[i]);frog[i][i]=num[i];
    }
    for(int i=1;i<n;++i) {
        for(int j=1;j<=n;++j) {
            int r=j+i;if(r>n)    break;
            for(int k=j;k<r;++k) {
                if(!(frog[j][k]^frog[k+1][r]))    frog[j][r]=max(frog[j][r],frog[j][k]+1),ans=max(ans,frog[j][r]);
            }
        }
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

summary

　　对于DP时发现状态不够严谨导致转移困难，可以考虑对状态加以限制。在每次转移时更新答案。

　　另外据说这题有大常数O(n)算法。可惜我不会

 

End on 2018/6/3