【DP】【Uva437】UVA437 The Tower of Babylon

传送门

Description

Input

Output

Sample Input

1
10 20 30
2
6 8 10
5 5 5
7
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
5
31 41 59
26 53 58
97 93 23
84 62 64
33 83 27
0

Sample Output

Case 1: maximum height = 40
Case 2: maximum height = 21
Case 3: maximum height = 28
Case 4: maximum height = 342

Hint

　　n<=30。

Solution

　　一眼看出这是个DAG上的DP，一个信息分成三个方块存储。然后开始读入，拓扑，输出，过样例，提交，WA……

　　　这里的关键是拓扑序应该怎么求。首先我的比较函数写法如下：

inline bool cmp(const Block &a,const Block &b) {
    return (a.l1<b.l1&&a.l2<b.l2)||(a.l2<b.l1&&a.l1<b.l2);
}

　　　然后由于sort的一些问题，这么写会挂掉。hack数据：我丢了……

　　　然后就来想想这个拓扑怎么求。

　　　考虑二元组(a,b)表示方块的长和宽，由于长和宽的顺序对放置无影响，所以不妨设a>=b。

　　　引理：若1能放在2上面，则2不能放在1上面。

　　　　证明：　　由题设，a1>a2，b1>b2。

　　　　　　　　　当2能放在1上面，a2>a1，b2>b1。矛盾。引理得证。

　　　定理：若a1+b1=a2+b2，则这两个方块不能叠放。

　　　证明：不妨设a1>=a2。当a1==a2时，b1==b2。又a>b。显然不成立

　　　　　　　　当a1>a2，则b1<b2。故不成立。

　　　定理：当且仅当a1+b1<a2+b2时，方块2可能叠放在1上面。

　　　证明：已证相等时不成立，现在证明前者大于后者时不成立。

　　　　　　　前者大于后者时，a1+b1>a2+b2。

　　　　　　　　　　当a1<a2，显然b1>b2。不成立。

　　　　　　　　　　当a1>a2，b1>b2，由引理，不成立。

　　　　　　　　　　当a1>a2，b1<b2，显然不成立。

　　　　　　　下面证明可能性

　　　　　　　　　　当a1<a2，b1<b2时，满足原式，可以叠放。

　　　　　　　定理得证。

　　　由上述定理知，设si=ai+bi，则f[i]只可能由{f[j]|sj<si}转移得到。故将a+b得值设为阶段，进行转移。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define maxn 100

inline void qr(int &x) {
    char ch=getchar();int f=1;
    while(ch>'9'||ch<'0')    {
        if(ch=='-')    f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')    x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    x*=f;
    return;
}

inline int max(const int &a,const int &b) {if(a>b) return a;else return b;}
inline int min(const int &a,const int &b) {if(a<b) return a;else return b;}
inline int abs(const int &x) {if(x>0) return x;else return -x;}

inline void swap(int &a,int &b) {
    int c=a;a=b;b=c;return;
}

int n,a,b,c,frog[maxn];

struct Block {
    int h,l1,l2;
};
Block block[maxn];int top,cnt,ans;

inline void add(int x,int y,int z) {
    block[++top].h=x;block[top].l1=y;block[top].l2=z;
    if(block[top].l1<block[top].l2)    swap(block[top].l2,block[top].l1);
    block[++top].h=y;block[top].l1=x;block[top].l2=z;
    if(block[top].l1<block[top].l2)    swap(block[top].l2,block[top].l1);
    block[++top].h=z;block[top].l1=x;block[top].l2=y;
    if(block[top].l1<block[top].l2)    swap(block[top].l2,block[top].l1);
}

void clear() {
    std::memset(block,0,sizeof block);top=0;
    std::memset(frog,0,sizeof frog);ans=0;
}

inline bool cmp(const Block &a,const Block &b) {
    int sa=a.l1+a.l2,sb=b.l1+b.l2;
    return sa<sb;
}

inline bool judge(const Block &a,const Block &b) {
    return (a.l1<b.l1&&a.l2<b.l2)||(a.l2<b.l1&&a.l1<b.l2);
}

int main() {
    qr(n);
    while(n) {
        clear();
        for(int i=1;i<=n;++i) {
            a=b=c=0;qr(a);qr(b);qr(c);
            add(a,b,c);
        }
        std::sort(block+1,block+1+top,cmp);
        for(int i=1;i<=top;++i) {
            int &emm=block[i].h;
            frog[i]=emm;
            for(int j=1;j<i;++j) {
                if(judge(block[j],block[i])) frog[i]=max(frog[i],frog[j]+emm);
            }
            ans=max(ans,frog[i]);
        }
        printf("Case %d: maximum height = %d
",++cnt,ans);
        n=0;qr(n);
    }
    return 0;
}

Summary

　　1、写完dp和爆搜对拍一下！！！

　　　2、dp中阶段可能是一个非常难以想象的量，比如二元组的求和，在求拓扑序时可以考虑一些特殊性质。

　　　3、求拓扑序慎用sort