【数论数学】扩展欧拉定理

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Definition

(forall~a~,~m~in~Z^+~,~s.t.~gcd(a,m)=1)，则一定满足(~a^{phi(m)}~equiv~1~(Mod~m)~)。该定理被称作欧拉定理。

Demonstration

记(x_i)为第(i)个与(m)互质的数，则共有(phi(m))个(x_i)。

设(p_i~=~a~ imes~x_i)

引理一：

({p_i})间两两模(m)不同余，({x_i})间两两模(m)不同余。

证明：

先证({x_i})间两两模(m)不同余：

因为(~forall~i~in~[1,phi(m)]~,~x_i~<~m~)，故

[~x_i~Mod~m~equiv~x_i~ ]

又(~forall~i,j~in~[1,phi(m)],i~ eq~j~)都有(~x_i~ eq~x_j~)。于是

[~x_i~Mod~m~ eq~x_j~Mod~m~ ]

({x_i})间两两模(m)不同余

再证({p_i})间两两模(m)不同余：

反证法，若存在一对(~i,j~in~[1,phi(m)]~,~i~ eq~j~,~s.t.~p_i~equiv~p_j~(Mod~m)~)，则

[a~ imes~x_i~equiv~a~ imes~x_j~(Mod~m) ]

[Rightarrow~x_i~equiv~x_j~(Mod~m)$$。 根据${x_i}$间两两模$m$不同余，产生矛盾，于是${p_i}$间两两模$m$不同余 ##### 证毕 ### 引理二： $forall~i~in~[1,phi(m)]~,~p_i~$与$m$互质。 ##### 证明： 写出$m,a,x_i,p_i$的唯一分解式： $$m~=~q_1^{c_1}~q_2^{c_2}~dots~q_k^{c_k}]

[a=q_1^{d_1}~q_2^{d_2}~dots~q_k^{d_k} ]

[x_i~=~q_1^{e_1}~q_2^{e_2}~dots~q_k^{e_k} ]

[p_i~=~q_1^{e_1+d_1}~q_2^{e_2+d_2}~dots~q_k^{e_k+d_k} ]

则(forall~i~,~s.t.~c_i~ eq~0~)都有(d_i~=~e_i~=~0)，于是(d_i+e_i~=~0)。

于是(forall~i~in~[1,phi(m)]~,~p_i~)与(m)互质。

证毕

根据上述引理，可得所有(p_i)的模(m)的解的集合与({x_i})相等，于是他们的积模(m)的值也相等。

于是有

[prod_{i=1}^{phi(m)}~p_i~equiv~a^{phi(m)}~prod_{i=1}^{phi(m)}~x_i~equiv~prod_{i=1}^{phi(m)}~x_i~(Mod~m) ]

于是有(a^{phi(m)}~equiv~1~(Mod~m))。证毕。

Extension

对于(a)与(m)不一定互质的情况，有：

(a^c~equiv~egin{cases}a^{c~Mod~phi(m)} &gcd(a,m)~=~1 \a^c &gcd(a,m)~ eq~1~land~c~<~phi(m) \ a^{c~Mod~phi(m)~+~phi(m)} &gcd(a,m)~ eq~1~land~c~geq~phi(m)end{cases})

Demonstration

当(m~=~1)时显然成立，以下讨论(m~ eq~1)的情况。

对于(gcd(a,m)~=~1~)的情况，因为(a^{phi(m)}~equiv~1)，所以每(phi(m))个(a)就相当于乘(1)。于是只需要算(c~Mod~phi(m))次。

对于(c~<~phi(m))的情况，直接爆算

下面证明第三种情况。

先证明(a)是一个质数的情况：

引理1：

(forall~p~)为质数，(r~in~Z^+)，都有(phi(p^r)~=~(p-1)~ imes~p^{r-1})。

证明：

由于(p)是一个质数，所以(~1~sim~(p^r-1)~)中有且仅有(i~ imes~p,~i~in~(0,p^{r-1})~)与(p^r)不互质。

于是(phi(p^r)~=~p^r~-~p^{r-1}~=~p^{r-1}~ imes~(p~-~1)~)。

证毕。

引理2：

(forall~k~in~Z)，(exists~a,b,x,y~in~Z^+~,~s.t.~x^a~ imes~y^b~=~k)，都有(~a,b~leq~phi(k)~)。

证明：

先考虑(k)为一个质数(p)的(r)次幂的情况。根据引理1有：

(phi(k)~=~phi(p^r)~=~(p-1)~ imes~p^{r-1})。

下面说明((p-1)~ imes~p^{r-1}~geq~r)。

当(p=2)时：

经验证(~r=1,2,3~)时成立。当(~r>3~)时按照(r)的大小做数学归纳，可证正确性。

当(~p~>~2~)时，不等号左侧增大，右侧不变，不等式仍然成立。

考虑(k)是多个质数幂时的情况，按照质数个数做数学归纳，正确性成立。

任意组合质数，引理得证。

证毕

引理3：(exists~r~leq~c~,~s.t.~a^{phi(m)+r}~equiv~a^r~(Mod~m))。

证明：

令(m~=~t~ imes~a^r)，其中(gcd(t,a)=1)，(t)的存在性显然。

因为(gcd(t,a)~=~1)，且(phi)函数是一个积性函数，所以(phi(t)~|~phi(m))。

根据欧拉定理，(a^{phi(t)}~equiv~1~(Mod~t))，于是有

[a^{phi(m)}~equiv~1~(Mod~t) ]

同余式同乘(a^r)，于是有

[a^{phi(m)+r}~equiv~a^r~(Mod~m) ]

已经证明可以构造出这样的(r)。根据引理2，(r~leq~phi(m))。又(c~geq~phi(m))，于是可证构造出的(r~leq~c)。定理得证。

证毕

于是

[a^c~equiv~a^{c-r+r}~equiv~a^{c-r+phi(m)+r}~equiv~a^{c+phi(m)}~(Mod~m) ]

对上式做数学归纳，可得(a^c~equiv~a^{c+kphi(m)}~,~k~in~Z)，需保证指数为正。

于是最小的合法的指数即为(c~Mod~phi(m)~+~phi(m))。

于是有$$a^c~equiv~a^{c~Mod~phi(m)~+~phi(m)}$$

当(a)是一个质数的幂次时，设(a=p^k)，则

[a^c~equiv~p^{ck}~equiv~p^{ck+phi(m)}~equiv~p^{ck+kphi(m)}~equiv~(p^k)^{c+phi(m)}~equiv~(p^k)^{c~Mod~phi(m)~+~phi(m)}~~(Mod~m) ]

当(a)时多个质数次幂的乘积时，依据唯一分解定理做数学归纳，即证正确性。证毕。

Example

传送门

Description

你有一个本子，你要往上面写全部的长度为(n)的(b)进制数字，每一页可以写(c)个。要求所有数字必须严格不含前导(0)。求最后一页上有多少个数字

Input

三个数，依次是进制数(b),数字长度(n)，每一页的个数(c)。

Output

一行一个整数代表答案

Hint

(Forall:)

(2~leq~b~<~10^{10^6}~,~1~leq~n~<~10^{10^6}~,~1~leq~c~leq~10^9)

Solution

考虑计数原理，第一个位置可以填(~1~sim~(b-1)~)共(~(b-1)~)个数字，剩下的位置可以填(~0~sim~(~b~-~1~)~)共(~b~)个数字。于是答案即为(~(b-1)~ imes~b^{(n-1)})。后面的应用扩展欧拉定理即可解决。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long

typedef long long int ll;

template <typename T>
inline void qr(T &x) {
	rg char ch=getchar(),lst=' ';
	while((ch > '9') || (ch < '0')) lst=ch,ch=getchar();
	while((ch >= '0') && (ch <= '9')) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	if(lst == '-') x=-x;
}

namespace IO {
	char buf[120];
}

template <typename T>
inline void qw(T x,const char aft,const bool pt) {
	if(x < 0) {x=-x,putchar('-');}
	rg int top=0;
	do {IO::buf[++top]=x%10+'0';} while(x/=10);
	while(top) putchar(IO::buf[top--]);
	if(pt) putchar(aft);
}

const int maxn = 1000010;

char B[maxn],N[maxn];
ll m,phi,b;

int ReadMod(char*,cl&);
int GetPhi(ll);
void MinuN();
int mpow(int,ll);
bool judge();

int main() {
	freopen("1.in","r",stdin);
	scanf("%s %s",B+1,N+1);qr(m);
	b=ReadMod(B,m);
	if(judge()) return 0;
	int k=GetPhi(m);
	MinuN();
	int n=ReadMod(N,k)+k;
	int ans=1ll*(b-1)*mpow(b,n)%m;
	ans=(ans+m)%m;
	qw(ans?ans:m,'
',true);
	return 0;
}

int ReadMod(char *str,cl & p) {
	int l=strlen(str+1);
	ll _ret=0;
	for(rg int i=1;i<=l;++i) _ret=((_ret<<1)+(_ret<<3)+(str[i]^48))%p;
	return _ret;
}

int GetPhi(ll x) {
	ll _ret=x;
	for(ll i=2;i*i<=x;++i) if(!(x%i)) {
		_ret=_ret*(i-1)/i;
		while(!(x%i)) x/=i;
	}
	if(x != 1) _ret=_ret*(x-1)/x;
	return _ret;
}

void MinuN() {
	int l=strlen(N+1);
	--N[l];
	for(rg int i=l;i;--i) if(N[i] < '1') {
		N[i]+=10,--N[i-1];
	} else break;
	if(N[1] == '0'+10) N[1]='0';
}

int mpow(int x,ll k) {
	int _ret=1,_temp=x;
	while(k) {
		if(k&1) _ret=1ll*_ret*_temp%m;
		_temp=1ll*_temp*_temp%m;
		k>>=1;
	}
	return _ret%m;
}

bool judge() {
	int l=strlen(N+1);
	if(l >= 17) return false;
	ll _tp=0;
	for(rg int i=1;i<=l;++i) _tp=(_tp<<1)+(_tp<<3)+(N[i]^48);
	int ans=1ll*(b-1)*mpow(b,_tp-1)%m;
	ans=(ans+m)%m;
	qw(ans?ans:m,'
',true);
	return true;
}

Summary

扩展欧拉定理可以用在底数与模数不互质的情况下，将质数将至与模数同阶的大小，从而可以使用快速幂进行运算。

注：本篇内容部分证明参考该BAJim_H的博客，在此表示衷心的感谢。