线性代数真难，而且这个学期就要结课。学到现在（矩阵的分块），个人感觉最难的还是行列式的计算。哎哎。不过好在这些东西很有套路性，经过一番学习后，我就来总结一下——
行列式的分类
第一类 范德蒙德行列式
占坑
第二类 箭头行列式（爪型行列式）
此类行列式以形状酷似箭头而得名。
如下是一个箭头行列式。
(Dn =left| {egin{array}{*{20}{c}} {x1}&p&p& cdots &p\ q&{x2}&{}&{}&{}\ q&{}&{x3}&{}&{}\ vdots &{}&{}& ddots &{}\ q&{}&{}&{}&{xn} end{array}} ight|)
要计算这种行列式，只需设法将箭头的任意一侧消去，得到一个三角行列式后即可快速计算。
现在以消去左箭头，即第一列为例：
若想消去第一列的第二个元素q，则将第二列整体乘以(-frac{q}{x2})后加到第一列，得到
(Dn =left| {egin{array}{*{20}{c}} {x1 + p( - frac{q}{{x2}})}&p&p& cdots &p\ 0&{x2}&{}&{}&{}\ q&{}&{x3}&{}&{}\ vdots &{}&{}& ddots &{}\ q&{}&{}&{}&{xn} end{array}} ight|)
若想消去第一列的第三个元素q，则将第三列整体乘以(-frac{q}{x3})后加到第一列，得到
(Dn =left| {egin{array}{*{20}{c}} {x1 + p( - frac{q}{{x2}})+p( - frac{q}{{x3}})}&p&p& cdots &p\ 0&{x2}&{}&{}&{}\ 0&{}&{x3}&{}&{}\ vdots &{}&{}& ddots &{}\ q&{}&{}&{}&{xn} end{array}} ight|)
这个操作重复多次，直到得到上三角行列式
(Dn =left| {egin{array}{*{20}{c}} {x1 - pqsumlimits_{i = 2}^n {_{}} frac{1}{{xi}}}&p&p& cdots &p\ {}&{x2}&{}&{}&{}\ {}&{}&{x3}&{}&{}\ {}&{}&{}& ddots &{}\ {}&{}&{}&{}&{xn} end{array}} ight|)
解得
(Dn = (x1 - pqsumlimits_{i = 2}^nfrac{1}{{xi}})prodlimits_{i = 2}^n {xi}).
第三类 两三角型行列式
(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}} {x1}&b&b& cdots &b\ a&{x2}&b& cdots &b\ a&a&{x3}& cdots &b\ cdots & cdots & cdots & cdots & cdots \ a&a&a& cdots &{xn} end{array}} ight|)
两三角形行列式就像所有的0都被填满了的上三角和下三角行列式。主对角线上下的元素都分别为(a)和(b)
1.当(a=b)时：
(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}} {x1}&a&a& cdots &a\ a&{x2}&a& cdots &a\ a&a&{x3}& cdots &a\ cdots & cdots & cdots & cdots & cdots \ a&a&a& cdots &{xn} end{array}} ight|)
如果能把主对角线下（或者上）方的所有a消去，得到一个箭头行列式，再套用上面的方法，那么问题便可解决。
要想消去(a)得到(0)，经过观察发现，第二列及其之后的所有列的第一个元素都是(a)，那么让从第二行开始的每一行都减去第一行即可。得到
(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}} {x1}&a&a&a&a\ {a - x1}&{x2 - a}&{}&{}&{}\ {a - x1}&{}&{x3 - a}&{}&{}\ cdots &{}&{}& ddots &{}\ {a - x1}&{}&{}&{}&{xn} end{array}} ight|)
化成箭头行列式：
(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}} {x1 + a(x1 - a)sumlimits_{i = 2}^n {frac{1}{{xi - a}}} }&a&a&a&a\ 0&{x2 - a}&{}&{}&{}\ 0&{}&{x3 - a}&{}&{}\ vdots &{}&{}& ddots &{}\ 0&{}&{}&{}&{xn} end{array}} ight|)
解得(Dn=[x1 + a(x1 - a)sumlimits_{i = 2}^n {frac{1}{{xi - a}}}]prodlimits_{i = 2}^n {(xi-a)})
2.当(a≠b)时
(Dn = left| {egin{array}{*{20}{c}} {x1}&b&b& cdots &b\ a&{x2}&b& cdots &b\ a&a&{x3}& cdots &b\ cdots & cdots & cdots & cdots & cdots \ a&a&a& cdots &{xn} end{array}} ight|)