排序

一、排序方法与复杂度归类
（1）几种最经典、最常用的排序方法：冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序、归并排序、计数排序、基数排序、桶排序。
（2）复杂度归类
冒泡排序、插入排序、选择排序 O(n^2)
快速排序、归并排序 O(nlogn)
计数排序、基数排序、桶排序 O(n)

二、如何分析一个“排序算法”？
<1>算法的执行效率
1. 最好、最坏、平均情况时间复杂度。
2. 时间复杂度的系数、常数和低阶。
3. 比较次数，交换（或移动）次数。
<2>排序算法的稳定性
1. 稳定性概念：如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变。
2. 稳定性重要性：可针对对象的多种属性进行有优先级的排序。
3. 举例：给电商交易系统中的“订单”排序，按照金额大小对订单数据排序，对于相同金额的订单以下单时间早晚排序。用稳定排序算法可简洁地解决。先按照下单时间给订单排序，排序完成后用稳定排序算法按照订单金额重新排序。
<3>排序算法的内存损耗
原地排序算法：特指空间复杂度是O(1)的排序算法。

三、冒泡排序
冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求，如果不满足就让它俩互换。
稳定性：冒泡排序是稳定的排序算法。
空间复杂度：冒泡排序是原地排序算法。
时间复杂度：
1. 最好情况（满有序度）：O(n)。
2. 最坏情况（满逆序度）：O(n^2)。
3. 平均情况：
“有序度”和“逆序度”：对于一个不完全有序的数组，如4，5，6，3，2，1，有序元素对为3个（4，5），（4，6），（5，6），有序度为3，逆序度为12；对于一个完全有序的数组，如1，2，3，4，5，6，有序度就是n*(n-1)/2，也就是15，称作满有序度；逆序度=满有序度-有序度；冒泡排序、插入排序交换（或移动）次数=逆序度。
最好情况下初始有序度为n*(n-1)/2，最坏情况下初始有序度为0，则平均初始有序度为n*(n-1)/4，即交换次数为n*(n-1)/4，因交换次数<比较次数<最坏情况时间复杂度，所以平均时间复杂度为O(n^2)。

四、插入排序
插入排序将数组数据分成已排序区间和未排序区间。初始已排序区间只有一个元素，即数组第一个元素。在未排序区间取出一个元素插入到已排序区间的合适位置，直到未排序区间为空。
空间复杂度：插入排序是原地排序算法。
时间复杂度：
1. 最好情况：O(n)。
2. 最坏情况：O(n^2)。
3. 平均情况：O(n^2)（往数组中插入一个数的平均时间复杂度是O(n)，一共重复n次）。
稳定性：插入排序是稳定的排序算法。

五、选择排序
选择排序将数组分成已排序区间和未排序区间。初始已排序区间为空。每次从未排序区间中选出最小的元素插入已排序区间的末尾，直到未排序区间为空。
空间复杂度：选择排序是原地排序算法。
时间复杂度：（都是O(n^2)）
1. 最好情况：O(n^2)。
2. 最坏情况：O(n^2)。
3. 平均情况：O(n^2)。
稳定性：选择排序不是稳定的排序算法。

六、归并排序

归并排序利用分治的思想，将数组一分为二，然后继续递归知道数组规模为1，然后合并排序。

空间复杂度:O(n)，不是原地排序算法，所以通常选择快速排序。

时间复杂度：

1. 最好情况：O(nlgn)。
2. 最坏情况：O(nlgn)。
3. 平均情况：O(nlgn)。

// 归并排序算法, A 是数组，n 表示数组大小
merge_sort(A, n) {
  merge_sort_c(A, 0, n-1)
}

// 递归调用函数
merge_sort_c(A, p, r) {
  // 递归终止条件
  if p >= r  then return

  // 取 p 到 r 之间的中间位置 q
  q = (p+r) / 2
  // 分治递归
  merge_sort_c(A, p, q)
  merge_sort_c(A, q+1, r)
  // 将 A[p...q] 和 A[q+1...r] 合并为 A[p...r]
  merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r])
}

 

merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r]) {
  var i := p，j := q+1，k := 0 // 初始化变量 i, j, k
  var tmp := new array[0...r-p] // 申请一个大小跟 A[p...r] 一样的临时数组
  while i<=q AND j<=r do {
    if A[i] <= A[j] {
      tmp[k++] = A[i++] // i++ 等于 i:=i+1
    } else {
      tmp[k++] = A[j++]
    }
  }
 
  // 判断哪个子数组中有剩余的数据
  var start := i，end := q
  if j<=r then start := j, end:=r
 
  // 将剩余的数据拷贝到临时数组 tmp
  while start <= end do {
    tmp[k++] = A[start++]
  }
 
  // 将 tmp 中的数组拷贝回 A[p...r]
  for i:=0 to r-p do {
    A[p+i] = tmp[i]
  }
}

 

七、快速排序

 

利用分治的思想，每次确定一个分治点，分治点的左边元素比分治点元素小，分治点右边的元素比分治点元素大。然后分别继续递归，知道数组规模为1.此时排序已完成。

空间复杂度：原地排序算法。

 

// 快速排序，A 是数组，n 表示数组的大小
quick_sort(A, n) {
  quick_sort_c(A, 0, n-1)
}
// 快速排序递归函数，p,r 为下标
quick_sort_c(A, p, r) {
  if p >= r then return
 
  q = partition(A, p, r) // 获取分区点
  quick_sort_c(A, p, q-1)
  quick_sort_c(A, q+1, r)
}

 

 

partition(A, p, r) {
  pivot := A[r]
  i := p
  for j := p to r-1 do {
    if A[j] < pivot {
      swap A[i] with A[j]
      i := i+1
    }
  }
  swap A[i] with A[r]
  return i

 

时间复杂度:

1. 最好情况：O(nlgn)。刚好想归并排序一样平分
2. 最坏情况：O(n^2)。
3. 平均情况：O(nlgn)。

 

 

快速排序是从上往下解决问题，而归并排序是从下往上解决问题。

之所以大部分选择快排而不选择归并排序是因为归并排序需要额外的空间。