拉格朗日乘子法 (Lagrange multipliers)是一种寻找多元函数在一组约束下的极值的方法.通过引入拉格朗日乘子，可将有 d 个变量与 k 个约束条件的最优化问题转化为具有 d + k 个变量的无约束优化问题求解。本文希望通过一个直观简单的例子尽力解释拉格朗日乘子法和KKT条件的原理。
以包含一个变量一个约束的简单优化问题为例。
如图所示，我们的目标函数是$f(x)={x^2} + 4x - 1$，讨论两种约束条件$g(x)$：
(1)在满足$x le -1$ 约束条件下求目标函数的最小值；
(2)在满足 $x ge -1$约束条件$g(x)$下求目标函数的最小值。
[egin{array}{*{20}{l}}
{mathop {min }limits_x f(x) = {x^2} + 4x - 1}\
egin{array}{l}
(1) s.t. x + 1 le 0\
(2) s.t. -x - 1 le 0
end{array}
end{array}]
我们可以直观的从图中得到，
对于约束(1)使目标值$f(x)$最小的最优解是$x=-2$；
对于约束(2)使目标值$f(x)$最小的最优解是$x=-1$。
下面我们用拉格朗日乘子来求解这个最优解。
当没有约束的时候，我们可以直接令目标函数的导数为0，求最优值。可现在有约束，那怎么边考虑约束边求目标函数最优值呢？最直观的办法是把约束放进目标函数里，由于本例中只有一个约束，所以引入一个朗格朗日乘子$lambda$，构造一个新的函数，拉格朗日函数$h(x)$，
[h(x) = f(x) + lambda g(x) ]
该拉格朗日函数$h(x)$最优解可能在$g(x) <0$区域中，或者在边界$g(x) =0$上，下面具体分析这两种情况，
当$g(x) <0$时，也就是最优解在$g(x) <0$区域中， 对应约束(1)$x le -1$的情况。此时约束对求目标函数最小值不起作用，等价于$lambda = 0$，直接通过条件$ abla f(x*) = 0$，得拉格朗日函数$h(x)$最优解$x=-2$。
当$g(x) =0$时，也就是最优解在边界$g(x) =0$上，对应约束(1)$x ge -1$的情况。此时不等式约束转换为等式约束，也就是在$lambda>0$、约束起作用的情况下，通过求$ abla f(x*) + lambda abla g(x*)=0$，得拉格朗日函数$h(x)$最优解$x=-1$。
所以整合这两种情况，必须满足$lambda g(x)=0$
因此约束$g(x)$最小化$f(x)$的优化问题，可通过引入拉格朗日因子转化为在如下约束下，最小化拉格朗日函数$h(x)$，
[left{ {egin{array}{*{20}{c}}
{g(x) le 0}\
{lambda ge 0}\
{lambda g(x) ge 0}
end{array}}
ight.]
上述约束条件成为KKT条件。
该KKT条件可扩展到多个等式约束和不等式约束的优化问题。