10. 正则表达式匹配
题目来源：https://leetcode-cn.com/problems/regular-expression-matching
题目
给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 '.' 和 '*' 的正则表达式匹配。
'.' 匹配任意单个字符
'*' 匹配零个或多个前面的那一个元素
所谓匹配，是要涵盖 整个 字符串 s的，而不是部分字符串。
说明:
- s 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母。
- p 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 . 和 *。
示例 1:
输入:
s = "aa"
p = "a"
输出: false
解释: "a" 无法匹配 "aa" 整个字符串。
示例 2:
输入:
s = "aa"
p = "a*"
输出: true
解释: 因为 '*' 代表可以匹配零个或多个前面的那一个元素, 在这里前面的元素就是 'a'。因此，字符串 "aa" 可被视为 'a' 重复了一次。
示例 3:
输入:
s = "ab"
p = ".*"
输出: true
解释: ".*" 表示可匹配零个或多个（'*'）任意字符（'.'）。
示例 4:
输入:
s = "aab"
p = "c*a*b"
输出: true
解释: 因为 '*' 表示零个或多个，这里 'c' 为 0 个, 'a' 被重复一次。因此可以匹配字符串 "aab"。
示例 5:
输入:
s = "mississippi"
p = "mis*is*p*."
输出: false
解题思路
暴力解
先从【暴力解】的角度理清问题。
这个题目中，难点就在于处理 . 和 * 两个符号。
如果只是要求检查两个普通字符是否匹配。那么通过直接遍历，检查每个数组对应的元素是否相同来判断是否匹配即可。例如：
def isMatch(s, p):
if len(s) != len(p):
return False
for i in range(p):
if s[i] != p[i]:
return False
return True
那代码大概就会是这样。那我们用递归的形式来书写，以下为伪代码：
def isMatch(s, p):
"""
s: text
p: pattern
"""
if p is empty:
return s is empty
first_match = (s not empty) and p[0] == s[0]
return first_match and isMatch(s[1:], p[1:])
在上面的代码中，其实就是通过先判断前面的元素是否匹配，逐层往下判断后面的元素是否也匹配，从而来找到答案。
现在来处理两个符号的问题，. 这个符号，表示的是匹配处换行符以外的任意字符（这里就不展开说明了，若需详细了解，可直接上网搜索）。
了解这个符号的含义后，这里所能表达的意义，也会相应的改变，即是说，当 p 中出现 . 号，s 对应的元素无论是什么字符（题目说明 s 仅包含 a-z 字符）都能够匹配，现在根据上面的伪代码进行修改：
def isMatch(s, p):
"""
s: text
p: pattern
"""
if not p:
return not s
first_match = bool(s) and p[0] in {s[0], '.'}
return first_match and isMatch(s[1:], p[1:])
这里唯一不同的就是 first_match 这部分的判断中，因为 p 中的元素可能出现固定字符，或者 . 号，所以当 p 出现的字符与 s 中对应的字符相同，或者 p 此处是 . 字符，这里两者都表示能够匹配。
那么现在往下看 * 符号，这个符号表示的含义是重复零次或多次。那么这里最明显的字符就是重复多少次的问题？在这里考虑使用递归的方式书写，假设重复 n 次，其实这里先不需要考虑 n 是多少，把这个交给递归实现。要考虑那么当下的情况，这里应该就只有两个选择，要么是匹配 0 次，要么是匹配 1 次。
那么相应的代码就应该修改为（这里书写发现 * 的情况）：
# 这里表示发现 `*` 的情况下，
if len(p) >= 2 and p[1] == '*':
# 这里需要考虑匹配 0 次的问题，例如 aa，c*aa
# 也要考虑匹配多次的问题，例如 aa, a*
return isMatch(s, p[2:]) or first_match and isMatch(s[1:], p)
在这段代码当中，isMatch(s, p[2:]) 这里表示，字符匹配 0 次，跳过 p 中字符与 * 结合这部分。后面的表示，p[0] 和 s[0] 匹配之后，继续判断 s 接下来的元素。其中保留 p，只向后移动 s，是为了实现 * 匹配多次的功能。
这样来看，其实已经可以说理清两个符号的具体实现方式。
关于完整的代码请查看【代码实现】部分。
动态规划
思路：动态规划
在上面暴力解的方法中，频繁使用切片操作，复杂度高。这里在暴力解的基础上，使用动态规划的方法，定义变量 i，j 来记录当前匹配到的位置，用 dp(i, j) 表示 s[i:] 和 p[j:] 是否能够匹配。，避免频繁切片。这里也引入备忘录的概念，用来避免重复的运算。
具体代码同样请查看【代码实现】部分。
代码实现
暴力解 | 代码实现
class Solution:
def isMatch(self, s: str, p: str) -> bool:
if not p:
return not s
first_match = bool(s) and p[0] in {s[0], '.'}
if len(p) >= 2 and p[1]=="*":
return self.isMatch(s, p[2:]) or first_match and self.isMatch(s[1:], p)
else:
return first_match and self.isMatch(s[1:], p[1:])
动态规划 | 代码实现
class Solution:
def isMatch(self, s: str, p: str) -> bool:
memo = {}
def dp(i, j):
if (i, j) not in memo:
if j == len(p):
return i == len(s)
else:
first_match = i < len(s) and p[j] in {s[i], '.'}
if j + 1 < len(p) and p[j+1] == '*':
ans = dp(i, j+2) or first_match and dp(i+1, j)
else:
ans = first_match and dp(i+1, j+1)
memo[(i, j)] = ans
return memo[(i, j)]
return dp(0, 0)
实现结果
暴力解 | 实现结果
动态规划 | 实现结果
以上就是使用暴力解的形式，理清题目的难点，进而使用动态规划加备忘录的形式来进一步降低复杂度，更高效的解决《10. 正则表达式匹配》问题的主要内容。
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