207. 课程表
题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/course-schedule
题目
你这个学期必须选修 numCourse 门课程，记为 0 到 numCourse-1 。
在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们：[0,1]
给定课程总量以及它们的先决条件，请你判断是否可能完成所有课程的学习？
示例 1:
输入: 2, [[1,0]]
输出: true
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0。所以这是可能的。
示例 2:
输入: 2, [[1,0],[0,1]]
输出: false
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1。这是不可能的。
提示：
- 输入的先决条件是由 边缘列表 表示的图形，而不是 邻接矩阵 。详情请参见图的表示法。
- 你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
- 1 <= numCourses <= 10^5
解题思路
思路：拓扑排序（BFS，DFS）
其实，这是一道经典的【拓扑排序】问题。
首先先审题，结合示例 1 和示例 2，我们其实可以看到，其实题目问的是给定输入先决条件表示的图形（也就是课程表）是否是有向无环图。也是说，当确定先决条件之后，图形不能存在环，否则不成立。
有向无环图（DAG）：指的一个有向图从任意顶点出发无法经过若干条边回到该点，则该图是一个有向无环图。
有向无环图，详细信息可由下方入口进行了解
https://en.wikipedia.org/wiki/Directed_acyclic_graph （维基百科：有向无环图）
https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%89%E5%90%91%E6%97%A0%E7%8E%AF%E5%9B%BE/10972513?fr=aladdin （百度百科：有向无环图）
那么当要求课程安排图是否是有向无环图时，我们用拓扑排序来判断。拓扑排序：将图所有顶点进行排序成线性序列，使得图中任意一个有向边 uv，u 在线性序列中出现在 v 前面。
拓扑排序，详细信息可由下方入口进行了解
https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_sorting （维基百科：拓扑排序）
https://baike.baidu.com/item/%E6%8B%93%E6%89%91%E6%8E%92%E5%BA%8F/5223807?fr=aladdin （百度百科：拓扑排序）
在题目中的提示中有说明，输入的先决条件时由 边缘列表 表示，在这里，我们要将此转换为 邻接表。
邻接表，详细信息可由下方入口进行了解
https://en.wikipedia.org/wiki/Adjacency_list （维基百科：邻接表）
https://baike.baidu.com/item/%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8/9796152?fr=aladdin （百度百科：邻接表）
广度优先搜索（BFS）
首先，先将边缘列表表示的先决条件转换得到邻接表。然后统计图中每个节点的入度情况，存储在一个列表中。（当入度为 0 时，表示点不作为任何边的终点，也就说该点是所有连接边的起点）
在这里，定义辅助队列 queue，将所有入度为 0 的节点存入队列中，用于后续处理。
开始进行搜索，令队列中的节点出队：
- 将当前节点邻接节点入度减 1；
- 当邻接节点入度为 0 时，将其入队。
当队列中的节点出队时，令课程总量减 1：
- 如果课程图是有向无环图，若完成拓扑排序，那么所有的节点都会入队出队；
- 若是课程图存在环，那么一定存在节点入度不为 0 的情况；
- 也就是说，当所有节点入队出队后，课程总量为 0 的情况下，也就能证明课程图是否是有向无环图。
具体的代码见【代码实现 # 广度优先搜索】
深度优先搜索（DFS）
我们先看使用深度优先搜索的思路来判断图是否有环。
在这里，我们借助一个辅助列表（当然也可以考虑用栈）标记每个节点的状态：
- 未标记，令此时状态为 0；
- 临时标记，令此时状态为 1；
- 永久标记，令此时状态为 -1。
开始对每个节点进行深度优先搜索，当存在环时，返回 False，执行过程如下：
- 当节点状态为 -1 时，表示已永久标记，此时已搜索完毕，不许重复搜索，直接返回 True；
- 当节点状态为 1 时，表示临时标记，也就说此节点，在此次深搜中又一次对该节点进行了搜索，那么表示图中存在环，那么直接返回 False；
- 当状态为 0 时，先将节点临时标记（令状态为 1），然后以此点继续搜索，直至遇到终止条件。
- 当节点搜索完毕，未发现闭环，则去除临时标记，将节点进行永久标记（令状态为 -1）
如果所有节点都搜索完毕后，不存在环，则返回 True。
具体的代码见【代码实现 # 深度优先搜索】
代码实现
# 广度优先搜索
class Solution:
def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:
from collections import deque
# 将边缘列表表示的先决条件转化为 邻接表
adjacency = [[] for _ in range(numCourses)]
# 定义列表统计图中每个节点的入度情况
indegree = [0] * numCourses
for info in prerequisites:
adjacency[info[1]].append(info[0])
indegree[info[0]] += 1
queue = deque()
# 将入度为 0 的节点入队
for i in range(len(indegree)):
if not indegree[i]:
queue.append(i)
# 开始进行搜索
while queue:
u = queue.popleft()
numCourses -= 1
# 搜索邻接节点
for v in adjacency[u]:
# 将邻接节点入度减 1
indegree[v] -= 1
# 如果入度为 0，入队
if indegree[v] == 0:
queue.append(v)
return numCourses == 0
# 深度优先搜索
class Solution:
def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:
def dfs(adjacency, sign, i):
if sign[i] == -1:
return True
if sign[i] == 1:
return False
# 开始搜索，先进行临时标记
sign[i] = 1
# 以此节点往下搜索
for j in adjacency[i]:
if not dfs(adjacency, sign, j):
return False
sign[i] = -1
return True
# 定义辅助列表标记状态，初始化为 0，表示未标记
sign = [0] * numCourses
# 将边缘列表表示的先决条件转化为 邻接表
adjacency = [[] for _ in range(numCourses)]
for info in prerequisites:
adjacency[info[1]].append(info[0])
# 开始深搜
for i in range(numCourses):
if not dfs(adjacency, sign, i):
return False
return True
实现结果
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