中国剩余定理
中国剩余定理常用来求解同余方程组，形如
[x equiv a_i pmod m_i
]
的方程组
首先，我们来讨论模数互质的：
对于这类问题应该怎么求解呢？
（果然我只是会背个板子）
首先，我们定义
[M=prod m_i
]
然后令$$M_i = frac{M}{m_i}$$
定义$$t_i为M_i 在 mod m_i意义下的逆元$$
（这里求逆元可以使用exgcd来求）
则最终的解就是
[ans=sum_i{M_it_ia_i}
]
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read()
{
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn = 210;
ll m[maxn],a[maxn];
ll n;
ll ans;
ll M=1;
void exgcd(ll &x,ll &y,ll a,ll b)
{
if (b==0)
{
x=1;y=0;
return;
}
exgcd(x,y,b,a%b);
int tmp = x;
x=y;
y=tmp-a/b*y;
}
void crt()
{
for (int i=1;i<=n;i++)
{
ll Mi=M/m[i];
ll ti=0,y=0;
exgcd(ti,y,Mi,m[i]);
ans=(ans+Mi*ti%M*a[i]%M)%M;
}
while (ans<0)
{
ans+=M;
}
}
int main()
{
n=read();
for (int i=1;i<=n;i++) m[i]=read(),a[i]=read(),M=M*m[i];
crt();
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
扩展中国剩余定理
那么如果模数不是互质的呢
这时候就需要拓展CRT了
对于
[x equiv a_1 pmod {m_1}
]
[x equiv a_2 pmod {m_2}
]
它等价于
[x=a_1+k_1m_1
]
[x=a_2+k_2m_2
]
联立之后，就能得到一个不定方程
[k_1m_1-k_2m_2=a_2-a_1
]
根据裴蜀定理，我们知道如果(gcd(m_1,m_2) | (a_2-a_1))，那么这个方程就有整数解
则(k_1=frac{m_2}{g}t+k_1')
设最小正整数解为(k_1')
那么(x=a_1+k_1m_1=a_1+frac{m_2}{g}tm_1+k_1'm_1)
我们设(a_1+k_1'm_1)为x_0
那么(x=x_0+frac{m_1m_2}{gcd(m1,m2)}t)
则新的方程就变成了$$x equiv x_0 pmod {lcm(m1,m2)}$$
引入一道例题
poj2891
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
inline long long read()
{
long long x=0,f=1;char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn = 1e6+1e2;
long long m[maxn],a[maxn];
long long M;
long long ans;
long long x0;
long long gcd;
int n;
long long exgcd(long long &x,long long &y,long long a,long long b)
{
if (b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
long long cnt=exgcd(x,y,b,a%b);
long long tmp = x;
x=y;
y=tmp-a/b*x;
return cnt;
}
long long solve()
{
x0=a[1];//x0表示从第一个式子开始，合并到当前点的前一个时a是多少
M=m[1];//M同x0
long long x=0,y=0;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
gcd=exgcd(x,y,M,m[i]);
if ((a[i]-x0)%gcd!=0) return -1;//判断不定方程的右边能不能整除gcd
x=x*(a[i]-x0)/gcd;//扩大相应的倍数
long long tmp = m[i]/gcd;
x=(x%tmp+tmp)%tmp;//根据特解公式，防止爆掉
x0=x*M+x0;//求合并完的x0
M=M*m[i]/gcd;
x0=x0%M;
}
x0=(x0+M)%M;
return x0;
}
int main()
{
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for (int i=1;i<=n;i++)
m[i]=read(),a[i]=read();
printf("%lld
",solve());
}
return 0;
}