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  • 洛谷3703 SDOI2017树点涂色(LCT+线段树+dfs序)

    又一道好题啊qwqqqq

    一开始看这个题,还以为是一个树剖的什么毒瘤题目
    (不过的确貌似可以用树剖啊)
    qwq这真是一道(LCT)维护颜色的好题

    首先,我们来一个一个操作的考虑。

    对于操作(1)来说,我们是不是就相当于把(1~x)的路径,弄成一个独立的联通块?

    哎,这个貌似是(access(x))的操作理念啊QWQ

    假设我们用(LCT)维护这棵树,一开始就全是虚边,然后对于一次1操作,那么就相当于一次(access),那么权值的定义,也就相当于到1的路径上要经过多少个不同的(splay)(也就是轻边的数目+1)

    起初每个点的权值,都是他的(deep)(我们假设根的(deep是1)),那么我们该如何询问一条路径上的权值和呢?

    QWQ
    由于我们的(LCT),被当做来维护颜色了,所以自然不能通过(split)来算,因为会破坏原来的结构。
    qwqqq

    这时候就需要题解了
    通常,我们求树上路径的方法一般都是树上差分。

    那么这个题可以不可以用同样的方法来做呢?

    我们来考虑证明一下(感性理解)

    假设当前的两个点是(x,y),他们的(LCA)记为(l)

    先考虑存在同色的情况

    $首先,我们可以知道,l只会和x,y其中一个同色。

    显然(val[x]-val[l])表示去掉LCA的这个点,(x`l)路径上的颜色个数,然后(val[y]-val[l])同理。

    而总的路径条数,显然等于两个式子相加,然后再加上(LCA)的颜色(因为(LCA)的颜色被减去了两次)。

    正好就是我们树上差分的式子

    [val[x]+val[y]-2*val[LCA(x,y)] +1 ]

    那么我们现在就剩下最后一个问题了。

    怎么维护修改和子树(max)呢??
    QWQ

    既然没有修改,而且树的形态还是固定的。

    那就可以直接线段树维护(dfs)序啊!

    那么对于三操作就相当于子树求max

    而对于子树的(val)的修改,我们可以发现,只有在每个(access)的时候,才会产生修改的影响(因为存在轻重边的切换),直接对应的+1,-1就行

    但是有一个要注意的问题就是

    !!!!我们修改的时候,要找到当前splay里面深度最小的点,把他和他的子树修改,这样才能起到整个子树都修改的效果

    直接上代码

    
    // luogu-judger-enable-o2
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<queue>
    #include<map>
    #include<set>
    #define mk makr_pair
    #define ll long long
    
    using namespace std;
    
    inline int read()
    {
      int x=0,f=1;char ch=getchar();
      while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
      while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
      return x*f;
    }
    
    const int maxn = 2e5+1e2;
    const int maxm = 2*maxn;
    
    
    int point[maxn],nxt[maxm],to[maxm];
    int cnt,n,m;
    int dfn[maxn],size[maxn],deep[maxn];
    int add[4*maxn],g[4*maxn];
    int f[maxn][21];
    int ch[maxn][3];
    int rev[maxn],fa[maxn];
    int back[maxn];
    int tot;
    
    void addedge(int x,int y)
    {
    	nxt[++cnt]=point[x];
    	to[cnt]=y;
    	point[x]=cnt;
    }
    
    void up(int root)
    {
      g[root]=max(g[2*root],g[2*root+1]);	
    }
    
    void build(int root,int l,int r)
    {
    	if (l==r)
    	{
    		g[root]=deep[back[l]];
    		return;
    	}
    	int mid = l+r >> 1;
    	build(2*root,l,mid);
    	build(2*root+1,mid+1,r);
    	up(root);
    }
    
    void pushdown(int root,int l,int r)
    {
    	if (add[root])
    	{
    		add[root*2]+=add[root];
    		add[2*root+1]+=add[root];
    		g[2*root]+=add[root];
    		g[2*root+1]+=add[root];
    		add[root]=0;
    	}
    }
    
    void update(int root,int l,int r,int x,int y,int p)
    {
    	if (x>y) return;
    	if (x<=l && r<=y)
    	{
    		g[root]+=p;
    		add[root]+=p;
    		return;
    	}
    	pushdown(root,l,r);
    	int mid = l+r >> 1;
    	if (x<=mid) update(2*root,l,mid,x,y,p);
    	if (y>mid) update(2*root+1,mid+1,r,x,y,p);
    	up(root);
    }
    
    int query(int root,int l,int r,int x,int y)
    {
    	if (x>y) return 0;
    	if (x<=l && r<=y)
    	{
    		return g[root];
    	}
    	pushdown(root,l,r);
    	int ans=0;
    	int mid = l+r >> 1;
    	if (x<=mid) ans=max(ans,query(2*root,l,mid,x,y));
    	if (y>mid) ans=max(ans,query(2*root+1,mid+1,r,x,y));
    	return ans;
    }
    
    void dfs(int x,int faa,int dep)
    {
    	deep[x]=dep;
    	dfn[x]=++tot;
    	back[tot]=x;
    	size[x]=1;
    	for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
    	{
    		int p = to[i];
    		if (p==faa) continue;
    		fa[p]=x;
    		f[p][0]=x;
    		dfs(p,x,dep+1);
    		size[x]+=size[p];
    	}
    }
    
    void init()
    {
    	for (int j=1;j<=20;j++)
    	  for (int i=1;i<=n;i++)
    	    f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
    }
    
    int go_up(int x,int d)
    {
    	for(int i=0;i<=20;i++)
    	{
    		if ((1<<i) & d) x=f[x][i];
    	}
    	return x;
    } 
    
    int lca(int x,int y)
    {
    	if (deep[x]>deep[y]) x=go_up(x,deep[x]-deep[y]);
    	else y=go_up(y,deep[y]-deep[x]);
    	if (x==y) return x;
    	for (int i=20;i>=0;i--)
    	{
    		if (f[x][i]!=f[y][i])
    		{
    			x=f[x][i];
    			y=f[y][i];
    		}
    	}
    	return f[x][0];
    }
    
    int son(int x)
    {
    	if (ch[fa[x]][0]==x) return 0;
    	else return 1;
    }
    
    bool notroot(int x)
    {
    	return ch[fa[x]][0]==x || ch[fa[x]][1]==x;
    }
    
    void rotate(int x)
    {
    	int y=fa[x],z=fa[y];
    	int b=son(x),c=son(y);
    	if (notroot(y)) ch[z][c]=x;
    	fa[x]=z;
    	ch[y][b]=ch[x][!b];
    	fa[ch[x][!b]]=y;
    	ch[x][!b]=y;
    	fa[y]=x;
    }  
    
    void splay(int x)
    {
       while (notroot(x))
       {
       	 int y = fa[x],z=fa[y];
       	 int b=son(x),c=son(y);
       	 if(notroot(y))
       	 {
       	 	if (b==c) rotate(y);
       	 	else rotate(x);
    	 }
    	 rotate(x);
       }
    }
    
    int findroot(int x)
    {
    	while (ch[x][0])
    	  x=ch[x][0];
    	return x;
    }
    void access(int x)
    {
    	for (int y=0;x;y=x,x=fa[x])
    	{    
    	    splay(x);
    	    int now = findroot(ch[x][1]);
    	    update(1,1,n,dfn[now],dfn[now]+size[now]-1,1);
    	    now=findroot(y);
    	    update(1,1,n,dfn[now],dfn[now]+size[now]-1,-1);
    	    ch[x][1]=y;
    	}
    }
    
    int main()
    {
      n=read(),m=read();
      for (int i=1;i<n;i++)
      {
      	 int x=read(),y=read();
      	 addedge(x,y);
      	 addedge(y,x);
      }
      dfs(1,0,1);
      init();
      build(1,1,n);
      for (int i=1;i<=m;i++)
      {
      	int opt=read();
      	if (opt==1)
      	{
      		int x=read();
      		access(x);
    	}
    	if(opt==2)
    	{
            int x=read(),y=read();
            int l = lca(x,y);
    		cout<<query(1,1,n,dfn[x],dfn[x])+query(1,1,n,dfn[y],dfn[y])-2*query(1,1,n,dfn[l],dfn[l])+1<<"
    ";
    	}
    	if (opt==3)
    	{
    		int x=read();
    		cout<<query(1,1,n,dfn[x],dfn[x]+size[x]-1)<<"
    ";
    	}  
      }
      return 0;
    }
    
    
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