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  • 【LeetCode】寻找两个有序数组的中位数【性质分析+二分】

    给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。

    请你找出这两个有序数组的中位数,并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

    你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

    示例 1:

    nums1 = [1, 3]
    nums2 = [2]

    则中位数是 2.0

    示例 2:

    nums1 = [1, 2]
    nums2 = [3, 4]

    则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

    来源:力扣(LeetCode)
    链接:
    https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays

    分析:

    QQ图片20190731190230

    m为数组A元素数量

    n为数组B元素数量

    通过上图我们可以得知:

    1.在合并后的大数组中,中位数的作用就是把数组分成元素数量相同的两部分,这两部分的元素是连续的,并且右侧的元素大于等于或者左侧的元素(也就是橙色元素大于或者等于绿色元素)

    2.大数组中的元素不是来自于数组A就是来自于数组B,也就是说,数组A和数组B肯定是由分割线两侧的元素混合构成的(先不考虑特殊情况),由于他们都是有序数组,那么数组A和数组B中肯定也存在两条这样的分割线i和j,我们只需要在A数组和B数组中找到确切的i分割线和j分割线的位置,就可以确定大数组中分割线的位置,从而就可以确定中位数的位置

    3.那么怎么寻找合适的i和j呢?

    i和j满足的要求:i+j=(n+m+1)/2   (+1是为了保证元素总数量无论是奇数还是偶数该公式都成立)

    根据公式知道,i和j只要确定了一个,另外一个也就确定了,所以我们只需要在数组A中寻找合适的i,那什么样的i才是合适的i呢?

    QQ图片20190731195052

    合适的i和j必须要满足以下要求:

    1)A[i]>=B[j-1]

    2)B[j]>=A[i-1]

    也就是保证所有橙色元素都大于或者等于绿色元素,换句话说就是为了保证大数组中右侧元素都大于或者等于左侧元素,只有这样的i和j才是合适的,才可以根据i和j确定大数组中位数的位置

    那么当i和j不合适时,我们应该怎么调整呢?我们调整i,j也会随着变化,所有我只对i进行调整就好

    当A[i]<B[j-1]时:说明i太小了,i应该右移

    当B[j]<A[i-1]时:说明i太大了,i应该左移

    我们可以通过二分的方式来移动i

    当找到合适的i和j后

    如果总元素数量为奇数,那么左侧最大元素max(A[i-1],B[j-1])就是中位数

    如果总元素数量为偶数,那么左侧最大元素和右侧最小元素的平均值就是中位数

    ps:右侧最小元素=min(A[i],B[j])

    需要处理几种特殊情况:

    1)如果B元素数量比A元素数量少的话,通过i得到的j值在数组B中可能会越界

    解决方案:如果数组A的元素数量比数组B的元素数量多,那么交换A,B数组的元素,也就是说,i是在数组元素数量少的数组上移动的,这样通过i得到的j值在B数组肯定不会越界

    2)i等于0的情况

    这种情况下,i-1会越界,那么左侧的最大元素为B[j-1]就好

    3)j等于0的情况

    这种情况下,j-1会越界,那么左侧的最大元素为A[i-1]就好

    4)i等于m的情况

    这种情况下,A[m]元素取不到,也越界了,那么右侧最小元素为B[j]就好

    5)j等于n的情况

    这种情况下,B[j]元素取不到,也越界了,那么右侧最小元素为A[i]就好

    时间复杂度分析:对A数组进行二分寻找合适的i,又因为A数组是元素数量最少的数组,所以该算法的时间复杂度为:O(log (min(m,n)))

    空间复杂度:O(1)

    另外一篇也很不错的博文:https://mp.weixin.qq.com/s/OE4lHO8-jOIxIfWO_1oNpQ

    code:

    double findMedianSortedArrays(vector<int>& A, vector<int>& B)
    {
        int m=A.size();
        int n=B.size();
        if(m>n)//i指向A数组,A为短数组可以避免j越界
        {
           swap(A,B);
           swap(n,m);
        }
        int low=0;
        int high=m;
        int k=(m+n+1)/2;
        while(low<=high)//二分A数组
        {
            int i=(low+high)/2;//i指向A数组
            int j=k-i;//j指向B数组
            if(i<high&&A[i]<B[j-1])//i太小,i需要右移
            {
                low=i+1;
            }else if(i>low&&A[i-1]>B[j])//i太大,i需要左移
            {
                high=i-1;
            }else//找到了合格的i,j
            {
                int maxleft;
                //特殊情况
                if(i==0)
                {
                    maxleft=B[j-1];
                }else if(j==0)
                {
                    maxleft=A[i-1];
                }else
                {
                    maxleft=max(A[i-1],B[j-1]);//获得左侧最大值
                }
                if((m+n)%2==1)//如果两个数组的元素数量为奇数,那么左侧的最大值就是中位数
                    return maxleft*1.0;
                int minright;
                //特殊情况
                if(i==m)
                {
                    minright=B[j];
                }else if(j==n)
                {
                    minright=A[i];
                }else
                {
                    minright=min(A[i],B[j]);//获得右侧最小值
                }
                return (maxleft+minright)/2.0;//元素总数量为偶数,那么中位数等于左侧最大值和右侧最小值的平均值
            }
        }
        return 0.0;
    }

     

    另外一种时间复杂度稍微差点的方法

    将求中位数转化为求第k大数,当k=(m+n+1)/2时,为原问题的解,那么怎么求两个数组的第k大数呢?

    分别求出A数组和B数组的第k/2个数x和y,然后比较x,y

    当x<y时,说明第k个数位于A数组的第k/2个数的后半段

    当x>y时,说明第k个数位于B数组的第k/2个数的前半段

    问题规模缩小了一般,然后递归处理就行了(特殊情况的细节没有说明,这里只讲解一下大概思路,因为该方法时间复杂度较高,为O(log(m+n))

    具体请参考:https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/solution/zhen-zheng-ologmnde-jie-fa-na-xie-shuo-gui-bing-pa/

     

     

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yinbiao/p/11278881.html
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