浅谈编程解决实际问题的常见思想

现实生活中有很多问题，人为不好解决，但利用计算机速度快，不出错的特性，可以很方便的解决这些问题，下面简单说说我在程序设计中解决实际问题的一些常见思想，高手可以忽略掉，我也是无聊了随便写写而已。

  1.枚举最优解时的情况

  有很多问题初看很棘手，但经过仔细的分析，可以得出一些显然的结论。

比如下面这个问题： 平面内有上千个点，用一个半径为R的圆去覆盖，最多能覆盖多少点？

很多程序员最暴力的思想就是枚举，当然，利用计算机枚举确实是一种很有效的方法，特别是在数据很小的情况下，不过对于上述问题，如何枚举？枚举圆的位置吗？

确实可以枚举圆的位置，如果不经过思考的话可以再二维正交系内枚举每个点为圆心，然后判断这个圆能覆盖多少圆，最后结果取最大。这个确实是一种方法，不过枚举圆心如何操作？圆心的位置是连续的，不一定是整点这种离散位置。 在数据量小并且精度要求不高的情况下，直接枚举圆心位置不失为一种好方法。 不过稍微分析一下，可以得出这样一个结论，最优解的圆，也就是覆盖点数最多的R半径圆，圆上一定有2个点。

假设最优解的圆上没有2个点，如上图，那么通过微量的平移操作，可以使圆接触平面上的2个点，并且园内的点数不会减少，它的结果不会比圆上没有2个点的情况差，因为只要求最多覆盖多少点，我们可以枚举任意2个点，这样这个半径为R的圆的位置就确定了（在这2点中垂线上，2中情况），再判断下这个圆能覆盖多少点，两两点枚举后取最大，这是一个O(n^3)的算法，1秒内出结果，已经比较高效了。

所以很多时候我们可以分析出最优解是满足哪种情况的，然后利用计算机特性枚举最优解，逆向思维解决问题。

2.动态规划思想

  动态规划是一种非常高效的方法，这个编程里面非常非常常见的，不会搜索和动态规划，基本就不会编程。如果能够把一个大的问题划分成若干同类型的小问题，小问题又可以划分为更小的问题，直到问题程度小到一眼就能看出来，那么可以把小问题先求出保存起来，再求大问题，这样的例子相当多，而且利用递归的写法，记忆化深度搜索，很容易实现这种思想。 经典的动态规划还有很多，最长上升子序列，背包问题等等。

如果还有同学不明白动态规划，看下面这一段C语言代码，相信能体会到一些。

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

/****************** Author: lxgsbqylbk Function : Get the factorial of integer n (n>=0) 求n的阶乘 n!= 1   n==0 n*(n-1)!  n>0 ****/   //完成动态规划一般2中思路 //1.记忆化深搜 int fac[MAXN]; int F(int n) {     return n?(fac[n]?fac[n]:fac[n]=n*F(n-1)):1; }   //2.规划方向后求解 int fac[MAXN]; for(fac[0]=1,i=1;i<=N;i++) {     fac[i]=fac[i-1]*i; }

　　

　　

3.排序思想

  排序是一个很重要的步骤，有很多问题通过排序预处理后可以更加方便的解决，比如有很多张钞票，面值不同，从中选出m张使它们价值最大，一个做法当然是对着些钞票按照面值从大到小排序，然后取钱m张就行了。 很多时候，上述的动态规划需要对变量按照一定规则排序后才能操作，有一定顺序了之后，问题一般更容易解决。

  说到排序，不得不说到贪心算法。 贪心算法就是如果整个大问题要到达一个最优解，在构成大问题的小问题中每次取最优的，大问题就能到达最优情况，当然，这种策略需要经过证明正确性后才能实现。 很多贪心过程前也要有排序的工作，比如著名的Kruscal最小生成树算法，要先对边进行排序，所以排序是个很重要的过程，以至于它被收录到各种语言的库函数中，可以方便的被用户调用。

4.二分，三分。

  前几天听同学说，现在8K已经招不到会写二分的程序员了，当然这句话有夸张的成分啦，^-^ 可见二分在程序设计中的常用性。

其实这个可以并列到枚举算法那中，只是这种枚举效率很高，很多地方比如SQL数据库里面的查找方式就是二分，二分枚举，三分枚举，时间复杂度都是对数级的，在程序设计中是相当高效的算法。

二分的条件：数据的单调性。 比如在一组从小到大排序的数中寻找数x 这样就可以二分枚举 每次可以把范围缩小一半，无论数据多大，就算超出int类型，都能很快找出来。

比如求函数8*x^4 + 7*x^3 + 2*x^2 + 3*x + 6 == K 在区间[0,100]的解 由于这个函数在[0,100]是单调递增的，所以二分是个不错的选择。

三分的条件: 数据的有凸性。

比如求函数6*x^7 + 8*x^6 + 7*x^3 + 5*x^2 - K*x 在区间[0,100]的最小值

这个函数在[0,100]是一个先减后增(或者完全单调，主要看K)的函数，所以三分求解。

当然这个问题可以转换为二分，将函数求导，二分其在0的位置即可，这个涉及到高等数学，不赘述了。

具体过程可以去查资料 二分前一般也需要排序操作的。

5.随机算法

  很多时候在要解决的问题没有任何思路，枚举数据量又太大的情况下，可以使用一些随机算法。

  常见的随机算法，蚁群算法，模拟退火等等。

  简单说说模拟退火（后面我打算专门写一篇模拟退火的随笔）

  比如平面内有成千上万个点，要在平面选一个圆，覆盖所有点，问最小的半径是多少？

  

  第一次接触这个问题的时候我有想到一种做法（不敢保证正确）：

  根据1 还是可以得出结论，最优情况圆上面一定有2个点，否则的话可以把圆继续缩小平移，使它上面有2个点，结果更优。

所以枚举任意2个点，圆心一定在这2点中垂线上，这里是对的。 然后假设这个圆心在在中垂线上移动，如果满足要求，包围了所有点。

那么我猜测这个圆在移动过程中半径先减小后增大。(感觉而已，未证明，也未测试，太麻烦了。) 这里可以使用上述的三分枚举，因为半径函数是下凸性的。

我上面这个方法正确性先不说，复杂度是有一点的，枚举2点，再三分。O(n^2*logV) 当然，数据很小的情况下，比如只有几千个点的话，结果秒出，数据大了，效率降低了。

这里说一下模拟退火的思想。 大概依照一个这样的理论，假设现在有1个位置pos,如果最优解圆心位置在pos上面，那么如果往pos下面搜，搜到的圆心一定比在pos的位置时候大。

依照这个理论，我们就可以现在平面内随机生成一些点，然后贪心的随机移动它们，直到达到一定程度停止。这个算法在时间复杂度上是O(n)的 正确性很高，运行也相当的快。

6.最后一个问题转化

  有的时候遇到问题，不能立即想出策略，这个时候尝试下将这个问题转化为常见的模型，利用常见模型和经典的算法解决它。

  最常见的还是一些图论上的问题，将实际问题转化为流网络或者二分图。