标准差、方差、协方差的简单说明

在一个样本中，样本的无偏估计的均值、标准差和方差如下：

对于单个变量，它的协方差可以表示为：

 

其实它即是方差，所以呢，当只有一个变量时，方差是协方差的一种特殊情况；

举例：有一个变量 X的样本为：0.2， 0.3，0.4，0.3，0.5；求自身的协方差（即方差）

对于两个变量，协方差可以表示为：

它表示了两个变量的相关性；通俗一点说，当X变大时，Y是否会变大 ，如果正相关，则协方差大于0，如果不负相关，则协方差小于0；

举例：有两个变量 ，X的样本为：0.2， 0.3，0.4，0.3，0.5；y的样本为：0.2，0.5，0.6，0.8，0.5；求 X与Y的协方差；

解：略；

对有三个变量时，会怎么样？

这时候，就需要用一个协方差矩阵表示了。（其实两个变量时，也可以用协方差矩阵表示）

它是对称的。

举例：有两个变量 ，X的样本为：0.2， 0.3，0.4，0.3，0.5；y的样本为：0.2，0.5，0.6，0.8，0.5；Z的样本为：0.3，0.5，0.1，0.7，0.4；求 X、Y和Z的协方差；

解这个题，即可以把矩阵中的一个个的元素单独求出来，也可以用矩阵直接求出：

对于多个变量时，怎么办？？

假设有 x1,x2, x3…… xn 个变量时，求它们的协方差矩阵；

应该知道每一个 xi 表示一个行向量，把它们用一个矩阵表示为：

 

矩阵X 的协方差矩阵可以表示为：

记住： X 为矩阵；