fwt原理学习和一些拓展

好久没有用过博客了

以前做fwt,fft的题都是套板子  这里补一下原理

FWT:

与运算：

结论：$FWT(A)_i=sum_{i&j=i}^{}A_j$

​​$FWT(C)_i=FWT(A)_i*FWT(B)_i=(sum_{i&j=i}^{}A_j)(sum_{i&k=i}^{}B_k)=sum_{i&j&k=i}^{}A_jB_k$

求解这个式子我们考虑分治

将序列补全为长度为$2^n$,另前半部分为$A_0$(即首位为0),后半部分为$A_1$(即首位为1)

容易得到

$FWT(A)=(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_1))$

这样就可以$nlogn$得到

反演也很容易得到

$IFWT(A)=(IFWT(A_0)-IFWT(A_1),IFWT(A_1))$

或运算:

结论：$FWT(A)_i=sum_{i|j=i}^{}A_j$

​​$FWT(C)_i=FWT(A)_i*FWT(B)_i=(sum_{i|j=i}^{}A_j)(sum_{i|k=i}^{}B_k)=sum_{i|j|k=i}^{}A_jB_k$

$FWT(A)=(FWT(A_0),FWT(A_1)+FWT(A_0))$

$IFWT(A)=(FWT(A_0),FWT(A_1)-FWT(A_0))$

异或运算:

这个运算和前两种略有不同

设p(x)表示x这个数二进制意义下的1的个数，

结论：$FWT(A)_i=sum_{(i&j)\%2=0}^{}A_j-sum_{(i&j)\%2=1}^{}A_j$

证件见https://blog.csdn.net/huangzihaoal/article/details/112443162

$FWT(A)=(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1))$

$IFWT(A)=((FWT(A_1)+FWT(A_0))/2,(FWT(A_1)-FWT(A_0))/2)$