洛谷 P3811 【模板】乘法逆元

传送门

---

逆元

什么是逆元？

首先取模运算在加法、减法、乘法中是满足分配率的，即
((a+b)\%p=(a\%p+b\%p)\%p)
((a*b)\%p=((a\%p)*(b\%p))\%p)
但是除法却不满足。
而有时候(frac{b}{a}\%p)中分子和分母都特别大，需要在计算过程中取模，这时候就需要把其转化成
(b*x\%p)，其中x叫做a在模p意义下的逆元。即
(a*xequiv 1pmod p)

怎么求逆元？

1. 费马小定理
   当a、p互质时，
     (a^{p-1}equiv1pmod p)
   即 (a*a^{p-2}equiv1pmod p)
   可以看出，此时(a^{p-2})即为a的逆元。
   可以快速幂求出。

2. exgcd
   直接根据同余方程(a*xequiv 1pmod p)用exgcd求解即可。

3. 线性递推
   用于求 1~n 在%p意义下的逆元。
   设p=k*i+r,则(k*i+requiv0pmod p)
   然后把等式两边同时乘i和r的逆元((x^{-1})表示x的逆元)：
   (k*i*i^{-1}*r^{-1}+r*i^{-1}*r^{-1}equiv0pmod p)
   化简得：
   (k*r^{-1}+i^{-1}equiv0pmod p)
   再移项可得：
   (i^{-1}equiv -k*r^{-1}pmod p)
   把k替换成p/i，r替换成p%i，可以得出递推公式：
   (inv[i]=-(p/i)*inv[p\%i]\%p)
   注意逆元为正数，所以(inv[i]=(inv[i]+p)\%p)

AC代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<ctime>
using namespace std;
int n,p,inv[3000005];
int main(){
	cin>>n>>p; 
	inv[1]=1;
	printf("1
");
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		inv[i]=((-(1ll)*(p/i)*inv[p%i])%p+p)%p;
		printf("%d
",inv[i]);
	}
	return 0;
}