传送门
解题思路
我才不是因为题目变蓝题了才做的呢
看一眼数据范围，普通期望dp（dp[n][m]）比较容易想，但是只有卑微的25分。
发现 (nleq10^{14})，所以我们可以大胆推测做法只与m有关。
于是我们就从m入手思考这道问题。
设 (f(n,m)) 表示杀死n个带护盾的m个不带盾的期望步数，每次讨论攻击到的是带护盾的还是不带护盾的。
- 当m==0时，(f(n,0)=1+f(n-1,1))
- 当m==1时，(f(n,1)=1+frac{1}{n+1} imes f(n,0)+frac{n}{n+1} imes f(n,1))
- 当 m>1 时，(f(n,m)=1+frac{m}{n+m} imes f(n,m-1)+frac{n}{n+m} imes f(n+m-1,1))
这时候，我们只要能用一个多项式表示出 (f(n,1))，就能把n这一维去掉。
对于
[f(n,1)=1+frac{1}{n+1} imes f(n,0)+frac{n}{n+1} imes f(n,1)
]
移项整理得
[f(n,1)=f(n,0)+(n+1)
]
再带入 (f(n,0))，得
[egin{aligned}
f(n,1)& =1+f(n-1,1)+(n+1)\
& =f(n-1,1)+n+2\
end{aligned}]
然后运用你的可爱的数学知识写出 (f(n,1)) 的函数关系式：
[f(n,1)=frac{n^2+5n+2}{2}
]
于是就可以快乐的dp了。
注意事项：因为要取模，所以可以省去分子分母约分的过程，否则你O(m)的做法也会稳TLE。
惨痛经历
//改完了后因为省掉了一个log一跃成为最优解（翻身做主人）
AC代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const long long mod=998244353;
long long n,m;
long long ksm(int x,int y){
if(y==1) return x%mod;
long long res=ksm(x,y/2);
if(y&1) return res*res%mod*x%mod;
return res*res%mod;
}
inline long long inv(int x){
return ksm(x,mod-2);
}
struct node{
long long p,q;
node operator +(const node &x)const{
node ans(0,0);
ans.q=q*x.q%mod;
ans.p=(x.q*p+q*x.p)%mod;
return ans;
}
node operator *(const node &x)const{
return node(x.p*p%mod,x.q*q%mod);
}
node(long long p,long long q):p(p),q(q){}
}dp(0,0);
node f(long long n){
n%=mod;
return node((n*n+5*n+2)%mod,2);
}
int main(){
cin>>n>>m;
if(m==0){
dp=node(1,1)+f(n-1);
cout<<dp.p*inv(dp.q%mod)%mod;
return 0;
}
dp=f(n);
for(int i=2;i<=m;i++){
dp=node(1,1)+dp*node(i,(n+i)%mod)+node(n%mod,(n+i)%mod)*f(n+i-1);
}
cout<<dp.p*inv(dp.q%mod)%mod;
return 0;
}