USACO Section 2.1 Sorting a Three-Valued Sequence 解题报告

题目

题目描述

给N个整数，每个整数只能是1，2，或3。现在需要对这个整数序列进行从小到大排序，问最少需要进行几次交换。N(1 <= N <= 1000)

样例输入

9
2
2
1
3
3
3
2
3
1

样例输出

4

解题思路

这个题目我没有做出来，想到一个思路，提交之后返回一个wa。后来看了一下题解，才知道自己错在什么地方。现在来回顾一下。

错误思路

我首先统计了1,2,3的个数，记为cnt1,cnt2,cnt3。然后统计在前cnt1个位置有多少个数字不是等于1的，统计在中间cnt2个位置有多少不是等于2的，统计在后面cnt3个位置有多少不是等于3的，这些统计结果分别记为tot1,tot2,tot3。然后经过一系列的神操作，我得到一个结论：tot = tot1+tot2+tot3，当tot为偶数的时候结果就是tot/2，当tot为奇数的时候结果就应该是(tot-3)/2 + 2。提交结果发现第七组样例过不了。后来想了一小会，没有找到推翻这个结论的样例，就开始找题解了。后来我根据这个思路的漏洞找到了一组样例223311，按照这个结论输出为3，其实结果是4。

正确思路

看完题解之后发现，之前找规律的时候思路不严谨，有地方没有认真证明，而是凭靠直觉解题，这是做题的大忌，得改。
首先我们同样统计出cnt1,cnt2,cnt3，然后需要统计的不是简单的tot1,tot2,tot3了，我们应该将前cnt1个位置中有多少2，有多少为3分别统计，分别记为cnt12,cnt13。同样我们要得到cnt21,cnt23,cnt31,cnt32。
第一步：我们在进行数字交换的时候如果在前cnt1个位置上发现有2，并且在中间cnt2个位置上有1，这种时候我们应该优先交换这两个数字，这样1跟2都出现在应该在的位置。然后我们看前cnt1个位置上有没有3，如果有的话应该和后面cnt3个位置上的1进行交换。同理交换所有的这样的数字。
第二步：在进行完上面的操作之后剩下的数字都是什么样的呢，如：312，这个序列，我们需要进行两次交换才能将三个数字都放在应该在的位置。所以我们得到的结论如下：
首先按照按照第一步计算需要交换的次数，然后剩下的数字都需要用第二步来交换。

解题代码

/*
ID: yinzong2
PROG: sort3
LANG: C++11
*/
#define MARK
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

int N;
int num[1010];

int main() {
#ifdef MARK
    freopen("sort3.in", "r", stdin);
    freopen("sort3.out", "w", stdout);
#endif // MARK
    cin >> N;
    int cnt[3] = {0};
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cin >> num[i];
        cnt[num[i]-1]++;
    }
    int cnt12 = 0, cnt13 = 0;
    for (int i = 0; i < cnt[0]; i++) {
        if (num[i] == 2) {
            cnt12++;
        } else if (num[i] == 3) {
            cnt13++;
        }
    }
    int cnt21 = 0, cnt23 = 0;
    for (int i = cnt[0]; i < cnt[0]+cnt[1]; i++) {
        if (num[i] == 1) {
            cnt21++;
        } else if (num[i] == 3) {
            cnt23++;
        }
    }
    int cnt31 = 0, cnt32 = 0;
    for (int i = cnt[0]+cnt[1]; i < cnt[0]+cnt[1]+cnt[2]; i++) {
        if (num[i] == 1) {
            cnt31++;
        } else if (num[i] == 2) {
            cnt32++;
        }
    }
    int ans = 0;
    // 第一步操作
    ans += min(cnt12, cnt21); cnt12 -= min(cnt12, cnt21); cnt21 -= min(cnt12, cnt21);
    ans += min(cnt13, cnt31); cnt13 -= min(cnt13, cnt31); cnt31 -= min(cnt13, cnt31);
    ans += min(cnt23, cnt32); cnt23 -= min(cnt23, cnt32); cnt32 -= min(cnt23, cnt32);
    // 剩下的数字需要按照第二步来操作，每个312这种序列都需要用2次交换
    ans += ((cnt12 + cnt13)*2);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}