【2018.2.26算法总结#分治】

分治法：1.将一个问题分成许多小问题，求解小问题。2.将小问题重新组合成一个问题。

例子:

1. 排队购票

问题描述：一场球赛开始前，售票工作正在紧张进行中。每张球票为50元，有m+n个人排队等待购票，其中有m 个人手持50元的钞票，另外n个人手持100元的钞票。求出这m+n个人排队购票，使售票处不至出现找不开钱的局面的不同排队种数 。(约定：开始售票时售票处没有零钱，拿同样面值钞票的人对换位置为同一种排队。)

问题分析：

令f(m,n)表示有m个人手持50元的钞票，n个人手持100元的钞票时共有的排除总数。 分以下3种情况来讨论。

• n=0：意味着排队购票的所有人手中拿的都是50元的钱币，注意到拿同样面值钞票的人对换位置为同一种排队，那么这m个人的排队总数为1，即f(m,0)=1。
• m<n：当m<n时，即购票的人中持50元的人数小于持100元的钞票，即使把m张50元的钞票都找出去，仍会出现找不开钱的局面，这时排队总数为0，即f(m,n)=0。
• 其它情况 第m+n个人手持100元的钞票，则在他之前的m+n-1个人中有m个人手持50元的钞票，有n-1个人手持100元的钞票，此种情况共有f(m,n-1)。 第m+n个人手持50元的钞票，则在他之前的m+n-1个人中有m-1个人手持50元的钞票，有n个人手持100元的钞票，此种情况共有f(m-1,n)。

由加法原理得到f(m,n)的递归关系： f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-1,n)

初始条件： 当m<n时，f(m,n)=0 当n=0时，f(m,n)=1

long f(int j,int i)
{
   long y;
   if(i==0) 
     y=1;
   else if(j<i) 
     y=0;       // 确定初始条件  
   else 
     y=f(j-1,i)+f(j,i-1);  //  实施递归  
   return(y);
}

　　2.未名湖边的烦恼  

问题描述

　　每年冬天，北大未名湖上都是滑冰的好地方。北大体育组准备了许多冰鞋，可是人太多了，每天下午收工后，常常一双冰鞋都不剩。
　　每天早上，租鞋窗口都会排起长龙，假设有还鞋的m个，有需要租鞋的n个。现在的问题是，这些人有多少种排法，可以避免出现体育组没有冰鞋可租的尴尬场面。（两个同样需求的人（比如都是租鞋或都是还鞋）交换位置是同一种排法）

输入格式

　　两个整数，表示m和n

输出格式

　　一个整数，表示队伍的排法的方案数。

样例输入

3 2

样例输出

5

数据规模和约定

　　m,n∈［0,18］

分析：如同第一个例子一样，先考虑最初始两种条件，再考虑最后一个人的情况。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int f(int m,int n){
    int y;
    if(n==0)//没有人借鞋子 
    y=1;
    else if(m<n)//借鞋子的人多 
    y=0;
    else 
    y=f(m-1,n)+f(m,n-1);//最后一个人之前有多少个人可以退鞋 
    return y; 
} 
int main(){
    int m,n;
    cin>>m;
    cin>>n;
    cout<<f(m,n)<<endl; 
    
    return 0;
}