阶乘的增长和解决方案

阶乘的增长

许多程序设计的书上都有介绍阶乘，我相信包括我在内的人都是看过即可，没有深入的想过其他的问题。比如在整数的范围内（以C#）为例，阶乘究竟可以计算到多大。

下面以一段代码测试下：

int total = 1;
            for (int i = 

1

; i <= 20; i++)
            {
                total *= i;
                Console.WriteLine("{0}	{1}",i,total);
            }

结果如下：

可以发现，在17就明显出问题了，再仔细观察，在14的时候也有问题，14的阶乘居然没有13的阶乘大。我们再用C#的checked关键字验证一下，发现运算到13的时候就出现溢出了。

大家都知道“指数爆炸”，在int类型的取值范围内，我们取2的指数最多可以取到30，但是阶乘最多只能取到12。可见，阶乘的增长比指数快多了。在网上找了一张各个函数增长率的图，如下：

大整数阶乘的解决

乘法本质上是加法运算，回顾我们小学的知识。被乘数乘上乘数就是乘数的各位依次与被乘数相乘再求和。例如：11*11=10*11+1*11。这样我们就可以将大数的乘法化为小数的乘法与加法。只要乘数不大于int的最大值的九分之一即可（超过九分之一则会发生溢出）。这样就可以利用乘法计算阶乘了。

代码

下面是我所写的乘法类，代码较简单，关键部分有注释，就不详细解释了。

/// <summary>
    /// 乘法类,可用于计数小于Int32.MaxValue十分之一的乘法
    /// </summary>
    public class Multiplication
    {
        #region Fields

        /// <summary>
        /// 保存乘法结果的数组
        /// </summary>
        private int[] _result = new int[4];

        /// <summary>
        /// 被乘数的最高位
        /// </summary>
        private int _topDigit = 3;

        /// <summary>
        /// 最大的被乘数
        /// </summary>
        public const int MaxMultiplier = Int32.MaxValue / 9;

        #endregion Fields

        #region Properties

        /// <summary>
        /// 获取结果枚举器,按从高位到低位
        /// </summary>
        public IEnumerable<int> Result
        {
            get { return _result.Skip(_topDigit); }
        }

        #endregion Properties

        #region Public Methods

        #region  Constructs

        /// <summary>
        /// 使用被乘数为1构造乘法类
        /// </summary>
        public Multiplication()
        {
            //初始化为1 
            _result[_result.Length - 1] = 1;
        }

        /// <summary>
        /// 使用指定的被乘数构造乘法类
        /// </summary>
        /// <param name="multiplicand">被乘数</param>
        public Multiplication(int multiplicand)
            : this()
        {
            Multiply(multiplicand);
        }

        #endregion Constructs

        #region Operators

        /// <summary>
        /// 重载乘法运算符
        /// </summary>
        /// <param name="multiplication">乘法类</param>
        /// <param name="multiplier">乘数,不能大于Int32.MaxValue的九分之一</param>
        /// <returns>进行乘法运算后的乘法类</returns>
        public static Multiplication operator *(Multiplication multiplication, int multiplier)
        {
            return multiplication.Multiply(multiplier);
        }

        /// <summary>
        /// 将指定的被乘数隐式转换为乘法类
        /// </summary>
        /// <param name="multiplicand">被乘数</param>
        /// <returns>转换后的乘法类</returns>
        public static implicit operator Multiplication(int multiplicand)
        {
            return new Multiplication(multiplicand);
        }

        /// <summary>
        /// 将乘法类显式转换为int
        /// </summary>
        /// <param name="multiplication">乘法类</param>
        /// <returns>转换后的int</returns>
        public static explicit operator int(Multiplication multiplication)
        {
            int value = 0;
            int digit = 1;
            var result = multiplication._result;
            for (int i = result.Length - 1; i > multiplication._topDigit - 1; i--)
            {
                value += result[i] * digit;
                digit *= 10;
            }
            return value;
        }

        #endregion Operators

        /// <summary>
        /// 与指定的乘数进行乘法运算
        /// </summary>
        /// <param name="multiplier">乘数,不能大于Int32.MaxValue的十分之一</param>
        /// <returns>进行乘法运算后的乘法类</returns>
        public Multiplication Multiply(int multiplier)
        {
            Contract.Assert(MaxMultiplier > multiplier);

            int digit = GetDigits(multiplier);
            //加上被乘数的位数
            for (int i = _topDigit; i < _result.Length; i++)
            {
                int d = GetDigits(_result[i]);
                d += _result.Length - i - 1; //加上权的位数，比如100对应2位，1000对应3位
                digit += d;
            }

            //扩宽一位,容纳权值
            digit += 1;

            //位数不够，开始重新分配结果数组
            if (digit > _result.Length)
            {
                var result = new int[digit];
                //有效数字长度
                int validLength = _result.Length - _topDigit;
                Array.Copy(_result, _topDigit, result, result.Length - validLength, validLength);

                _topDigit += digit - _result.Length;
                _result = result;
            }

            //进行运算
            for (int i = _topDigit; i < _result.Length; i++)
            {
                _result[i] *= multiplier;
            }
            Carry();

            return this;
        }

        #endregion Public Methods

        #region Private Methods

        /// <summary>
        /// 进位
        /// </summary>
        private void Carry()
        {
            //从被乘数个数到最高位的前一位,依次进位
            for (int i = _result.Length - 1; i > _topDigit - 1; i--)
            {
                int carry = _result[i] / 10;
                _result[i] = _result[i] % 10;
                _result[i - 1] += carry;
            }

            //在被乘数的最高位进位
            for (int i = _topDigit - 1; ; i--)
            {
                int carry = _result[i] / 10;
                _result[i] = _result[i] % 10;
                if (0 != carry)
                {
                    _result[i - 1] += carry;
                }
                else
                {
                    break;
                }
            }

            UpdateTopDigit();
        }

        /// <summary>
        /// 获取数字的位数
        /// </summary>
        /// <param name="number">数字</param>
        /// <returns>位数</returns>
        private int GetDigits(int number)
        {
            return (int)Math.Ceiling(Math.Log10(number));
        }

        /// <summary>
        /// 更新最高位
        /// </summary>
        private void UpdateTopDigit()
        {
            _topDigit = 0;
            for (int i = 0; i < _result.Length; i++)
            {
                if (_result[i] != 0)
                {
                    _topDigit = i;
                    break;
                }
            }
        }

        #endregion Private Methods

    }

使用方法也很简单：

/// <summary>
        /// 计算阶乘
        /// </summary>
        /// <param name="n">要计算的阶乘</param>
        /// <returns>阶乘的结果，数字从高位到低位</returns>
        static IEnumerable<int> Factrial(int n)
        {
            var mul = new Multiplication();
            for (int i = 2; i <= n; i++)
            {
                mul *= i;
            }

            return mul.Result;
        }

扩展

正如上面所说，只能计算不超过int.MaxValue九分之一的阶乘，如果需要计算更大的阶乘，就不能再直接将乘数的每位与被乘数相乘，而是需要进一步的细化，将乘数的每位依次与被乘数的每位相乘求和。例如：11x11=10*11+1*11=（10*10+10*1）+（1*10+1*1）。在此就不提供代码实现了。

同样的思路，也可将除法化为减法。

BigInteger 结构

上面说了那么多，然并卵。从.Net Framework 4.0开始，就提供了BigInteger结构，代表一个任意大的整数，其值在理论上已没有上部或下部的界限。在此就不细谈了，具体可参考BigInteger结构。

参考资料

《程序员的数学思维修炼》