Algorithm Design——凸包

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定义
⒈ 对于一个集合D，D中任意有限个点的线性组合的全体称为D的凸包。
⒉ 对于一个集合D，所有包含D的凸集之交称为D的凸包。
可以证明，上述两种定义是等价的

概念
1. 点集Q的凸包（convex hull）是指一个最小凸多边形，满足Q中的点
或者在多边形边上或者在其内。
2. 一组平面上的点，求一个包含所有点的最小的凸多边形，这就是凸包
问题了。这可以形象地想成这样：在地上放置一些不可移动的木桩，用
一根绳子把他们尽量紧地圈起来，并且为凸边形，这就是凸包了。

常用方法：
穷举法，格雷厄姆扫描法，分治法，蛮力法和Jarris步进法

格雷厄姆扫描法思路：
（1）求平面点集 S 中 Y 坐标最小的点 p0；
（2）以 p0 为源点，变换 S-{p0}中所有点的坐标；
（3）以 p0 为源点，计算 S-{p0}中所有点的幅角；
（4）以幅角的非降排序 S-{p0}中所有的点，令事件调度点 T={p1,p2,…,  pn-1}是排序过的数组。
（5）初始化堆栈：令 CHS[0]=pn-1，CHS[1]=p0；令堆栈指针 sp=1，事件调度点数组T的下标 k＝0。
（6）如果 k<n-1，转步骤（7）；否则，算法结束。
（7）计算CHS[sp - 1],CHS[sp] = p0,T[k]所构成的三角区负号D，所
D>=0，sp = sp + 1，CHS[sp] = T[k]，k = k + 1，转步骤（6）；否则，sp = sp - 1，转步骤（6）。

问题描述
某大学 ACM 集训队，不久前向学校申请了一块空地，成为自己的果园。全体队员兴
高采烈的策划方案，种植了大批果树，有梨树、桃树、香蕉……。后来，发现有些坏蛋，
他们暗地里偷摘果园的果子，被 ACM 集训队队员们发现了。因此，大家商量解决办法，
有人提出：修筑一圈篱笆，把果园围起来，但是由于我们的经费有限，必须尽量节省资金，
所以，我们要找出一种最合理的方案。由于每道篱笆，无论长度多少，都是同等价钱。所
以，大家希望设计出来的修筑一圈篱笆的方案所花费的资金最少。有人已经做了准备工作，
统计了果园里所有果树的位置，每棵果树分别用二维坐标来表示，进行定位。现在，他们
要求全体队员，每人给出一个最合理的方案，来解决修筑篱笆所遇到的困难。要求根据所
有的果树的位置，找出一个 n 边形的最小篱笆，使得所有果树都包围在篱笆内部，或者在
篱笆边沿上。

输入：
每行有 2n+1 个整数，第一个为 n，表示果园里面共有n 棵果树，接着2n个数，分别成对
的表示每棵果树pi(xi,yi)的位置，(x1,y1)，(x2,y2)，...，(xn,yn),3 <= n <= 100，其中，
-100 <= xi,yi <= 100

输出：
把设计出来最小 n 边形篱笆的 n 个顶点坐标按逆时针的顺序输出，每个坐标用空格分
开，每个坐标的格式为“(x,y)”。注意，第一个顶点，必须是所有顶点中最低、最左的点。

输入样例：
5    -1    -1    4    3    1    1    0    3    4    0

输出样例：
（-1，-1） （4，0） （4，3） （0，3）
*/

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

struct Point
{
    int x;
    int y;
};

Point p[101];
Point min_ld;
int n;
Point result[101];

//求出两个点的距离
double Distance( const Point &a, const Point &b )
{
    return sqrt((double)(  (a.x  -  b.x) * (a.x  -  b.x ) + (a.y  -  b.y) * (a.y  -  b.y) ) );
}

///求叉积
int Cross( const Point &s, const Point &p, const Point &q )// sp, sq
{ 
    Point sp , sq;
    sp.x = p.x - s.x;
    sp.y = p.y - s.y;
    sq.x = q.x - s.x;
    sq.y = q.y - s.y;
    return (sp.x * sq.y - sp.y * sq.x);
}

bool Cmp( const Point &a, const Point &b )
{ 
    double d1 = Distance( a, min_ld );
    double d2 = Distance( min_ld, b );
    if( d1 < 1e-10 || d2 < 1e-10 )
        return d1 < d2;

    double cos1 = ((double)(a.x - min_ld.x))/ d1;
    double cos2 = ((double)(b.x - min_ld.x))/ d2;
    if( fabs( cos1 - cos2 ) < 1e-10 )
        return d1 < d2;
    else
        return cos1 > cos2;
}
int main()
{
    int k;
    int top;
    while( cin >> n )
    {
        for(int i = 0; i < n; i++ )
        {
            cin >> p[i].x >> p[i].y; 
        }
        k = 0;
        for(int i = 1; i < n; i++ )
        {
            if( (p[i].y < p[k].y ) || ( p[i].y == p[k].y && p[i].x <p[k].x ) )
            {
                k = i;
            }
        }
        swap( p[0], p[k] );
        sort( p + 1, p + n, Cmp ); 
        //cout << '(' << p[0].x << ',' << p[0].y << ')';
        //for( i = 1; i < n; i++ )
        //     cout << ' ' << '(' << p[i].x << ',' << p[i].y << ')';
        //cout << endl;
        result[0] = p[0];
        result[1] = p[1];
        //result[2] = p[2];
        top = 1;
        for(int i = 2; i < n; i++ )
        {
            while( top > 0 && Cross( result[top], result[top -  1], p[i] ) >= 0 )
                --top;
            result[++top] = p[i];
        }
        cout << '(' << result[0].x << ',' << result[0].y << ')';
        for(int i = 1; i <= top; i++ )
            cout << ' ' << '(' << result[i].x << ',' << result[i].y << ')';
        cout << endl;
    }
    return 0;
}