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  • [数学]三角函数(一)

    一、概述

         三角函数是数学中研究三角形的一个分支,专门阐述三角形的角度和对应边的关系。 有趣的是,定义边角关系的三角函数跟圆的关系也是非常密切的。 不用说,这使得三角学成为学生最难以直观领会的板块之一。 三角学的其中一部分就像老师所教的那样。学生学的是“单位圆”及其和三角函数的关系,而很多学生没有真正理解圆对于三角函数的关键意义。 通过静态图片和方程式,我们可以掌握一些规则,这些规则阐述了不同函数的作用和意义。然而,在这种情况下,我们还是难以直观地理解圆、三角函数和三角形之间的关系。 有了动图GIF后,情况就大有不同了。随时间的变化是理解三角学的关键。以下Imgur网站的图片源自网站Reddit中无与伦比的数学板块,这使得三角学就变得清晰明朗。

    二、Pi

         Pi是圆的周长和直径比,比例是1:3.1415926...,首先,当你看到数字π的时候,你的脑海应该浮现出以下图像:

    三、弧度

         弧度究竟是什么,很多人对此感到困惑。好吧,以下gif告诉你答案:

         一个半径长度的圆周,成为1弧(rad).

         Pi rad = 3.1415926 rad = 周长c/2.

    三、正弦和余弦

         接下来,思考一下正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和圆之间的关系。 以下图片说明了正弦函数、余弦函数和圆之间的基本关系。 注意曲轴是如何在一个圆中移动的,而上下左右移动形似波浪的支杆则对应正弦函数和余弦函数:

         以下是关于正弦函数和余弦函数的更为传统的阐述。图中的黑线为圆,正弦函数和余弦函数分别依附圆周形成各自的路径。Y值(也就是说红线部分)为正弦函数值,X值(即蓝线部分)为余弦函数值。

         现在,让我们开始把三角函数、圆与三角形的关系对应起来:

         三角关系对于正切函数(tan)的定义至关重要。直角三角形的斜边和靠近圆右侧的垂直边的交叉点定义了正切函数。

         在没有三角形的情况下,还可以用另一种方式观察正切函数:

     

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