NOIP2013 火柴排队 题解

题解

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首先的话，上个题目链接  https://www.luogu.com.cn/problem/P1966

读懂了题目大意，稍微有点头绪

 

我们发现要求这个和的最小值

 

即min{∑（ai-bi）^2 (1<=i<=n)}

 

 展开，得min{∑（ai^2+bi^2-2*ai*bi）}=min{∑ai^2+∑bi^2-∑2*ai*bi}

 

只需要关注2*Σ（a[i]*b[i]）的值，使它最大就行了（因为a的平方+b的平方始终为定值）

然后的话，这时候需要证明一下这个东西

让b数组中第i小的数和a数组中第i小的数在同一个位置是最优的

 

顺序之乘>=乱序之乘

证明如下：

我们可以设a<b，c<d

猜测ac+bd一定是最大的。利用反证法。

 

若ac+bd不是最大的，那么一定有比它更大的，只有ad+bc

 

ac+bd<ad+bc

 

ac-ad<bc-bd

 

a*(c-d)<b*(c-d)//c-d<0

那么就会得到a>b (什么鬼，矛盾，所以得证）

所以我们知道

对于有序数列k1~kn,p1~pn，

k(1)p(1)+k(2)p(2)+……+k(n)p(n)一定是最大的

于是这题变成了，我们要用最少多少次使得这两个序列变成所谓b数组中第i小的数和a数组中第i小的数在同一个位置

我们用一个很巧妙的办法，设输入的序列分别为a,b;

开一个数组c，令c[b[i]]=a[i]  （这时候如果c[i]=[i],他们就在同一个位置）

于是我们只要愉快的求一下c数组的逆序对对数就是最终的answer！

求逆序对，树状数组？

像我这样的蒟蒻当然懒得写，二分归并不好嘛。

于是A了一道很水的洛谷蓝题（？）

code如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=99999997;
ll n,p[100010],x[100010],ans=0;
struct node
{
    int data,position;
}a[100010],b[100010];
bool cmp1(node a,node b)
{
    return a.data<b.data;
}
inline ll read()
{
    char ch;
    ll res,sign=1;
    while((ch=getchar())<'0'||ch>'9')
      if(ch=='-') sign=-1;
    res=ch^48;
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48);
    return res*sign;//快读卡常，不过这题没用 
}
inline void msort(int s,int t)
{
    if(s==t)return ;
    int mid=(s+t)/2;
    msort(s,mid);msort(mid+1,t);
    int i=s,k=s,j=mid+1;
    while(i<=mid && j<=t)
    {
        if(x[i]<=x[j])
        {
            p[k]=x[i];
            ++k;++i;
            
        }
        else
        {
            p[k]=x[j];
            ++k;++j;
            ans=(ans+mid-i+1)%mod;
            //ans要增加左边剩余区间的个数，用来统计逆序对 
        }
    }
    while(i<=mid)
    {
        p[k]=x[i];
        ++k;++i;
    }
    while(j<=t)
    {
        p[k]=x[j];
        ++k;++j;
    }
    for(int i=s;i<=t;i++)
    {
        x[i]=p[i];
    }
}
int main()
{
    n=read();
     for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i].data),a[i].position=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&b[i].data),b[i].position=i;
    sort(a+1,a+n+1,cmp1);
    sort(b+1,b+n+1,cmp1);
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    {
        x[b[i].position]=a[i].position;
    }//记录位置 
    msort(1,n);//归并排序求逆序对 
    printf("%lld",ans);
    
    return 0;
}