题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5226
题意：给一个矩阵a，a[i][j] = C（i，j）(i>=j) or 0(i < j)，求(x1，y1)，(x2，y2)这个子矩阵里面的所有数的和。
思路：首先可以推导出一个公式C（n，i）+C（n + 1，i）+...+C（m，i） = C（m + 1，i + 1）
知道了这个公式，就可以将子矩阵里每行（或每列）的和值表示成组合数的差值，现在的关键是求出C（n，m）（mod p）.
由于n和m可能很大，p很小，不能直接求，要借助Lucas定理。关于Lucas定理，可参考：http://www.cnblogs.com/zxndgv/archive/2011/09/17/2179591.html。
code：
1 #include <cstdio> 2 typedef __int64 LL; 3 const int MAXN = 100005; 4 int p; 5 LL fac[MAXN]; 6 7 // 得到阶乘 fac[i] = i! % p 8 void GetFact() 9 { 10 fac[0] = 1; 11 for (LL i = 1; i < MAXN; ++i) 12 fac[i] = fac[i - 1] * i % p; 13 } 14 15 // 快速模幂 a^b % p 16 LL Pow(LL a, LL b) 17 { 18 LL temp = a % p; 19 LL ret = 1; 20 while (b) 21 { 22 if (b & 1) ret = ret * temp % p; 23 temp = temp * temp % p; 24 b >>= 1; 25 } 26 return ret; 27 } 28 29 /* 30 欧拉定理求逆元 31 (a / b) (mod p) = (a * x) (mod p) x表示b的逆元 并且 b * x = 1 (mod p) 只有b和p互质才存在逆元 32 33 b * x = 1 (mod p) x是b关于p的逆元 34 35 b^phi(p) = 1 (mod p) 36 37 b * b^(phi(p) - 1) (mod p) = b * x (mod p) 38 39 x = b^(phi(p) - 1) = b^(p - 2) 40 41 (a / b) (mod p) = (a * x) (mod p) = (a * b^(p - 2)) (mod p) 42 43 经过上面的推导，得出： 44 45 (a / b) (mod p) = (a * b^(p - 2)) (mod p) (b 和 p互质) 46 47 */ 48 LL Cal(LL n, LL m) 49 { 50 if (m > n) return 0; 51 return fac[n] * Pow(fac[m] * fac[n - m], p - 2) % p; 52 } 53 54 LL Lucas(LL n, LL m) 55 { 56 if (m == 0) return 1; 57 return Cal(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p; 58 } 59 60 int main() 61 { 62 int x1, y1, x2, y2; 63 while (scanf("%d %d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2, &p) == 5) 64 { 65 if (x2 < y1) // 预判 子矩阵全部0值区域 66 { 67 printf("0 "); 68 continue; 69 } 70 if (x2 == y1) // 预判 子矩阵只有右上角值为1，其余为0 71 { 72 printf("1 "); 73 continue; 74 } 75 GetFact(); 76 if (x1 < y1) x1 = y1; 77 if (y2 > x2) y2 = x2; 78 LL ans = 0; 79 for (int i = y1; i <= y2; ++i) 80 { 81 if (i > x1) 82 ans = (ans + Lucas(x2 + 1, i + 1)) % p; 83 else 84 ans = (ans + Lucas(x2 + 1, i + 1) - Lucas(x1 + 1, i + 1) + Lucas(x1, i)) % p; 85 } 86 printf("%I64d ", ans); 87 } 88 return 0; 89 }