SPOJ 7001 VLATTICE

题目链接：http://www.spoj.com/problems/VLATTICE/

题意：求gcd(a, b, c) = 1    a,b,c <=N 的对数。

思路：我们令函数g(x)为gcd(a, b, c) = x的对数，那么这题就是要求g(1)。我们令f(x)为x | gcd(a, b, c)的对数，显然f(n) = sigma(n | d, g(d)) 。f(d) = (n/d) * (n/d) * (n/d)，那么我们就可以用莫比乌斯反演公式了， g(n) = sigma(n | d, mu(d/n)f(d))   g(1) = mu(d)f(d) = mu(d)*(n/d)*(n/d)*(n/d)。考虑1位为0，2位为0的情况。

莫比乌斯反演的两种形式：

g(n) = sigma(d | n, f(d))   f(n) = sigma(d | n, mu(d) * g(n/d))

g(n) = sigma(n | d, f(d))   f(n) = sigma(n | d, mu(d / n) * g(d))

code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 1000005;
bool check[MAXN];
int primes[MAXN];
int mu[MAXN];

void moblus()
{
    memset(check, false, sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    int cnt = 0;
    for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
        if (!check[i]) {
            primes[cnt++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
            if (i * primes[j] > MAXN) break;
            check[i * primes[j]] = true;
            if (i % primes[j] == 0) {
                mu[i * primes[j]] = 0;
                break;
            } else {
                mu[i * primes[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}

int main()
{
    moblus();
    int nCase;
    scanf("%d", &nCase);
    while (nCase--) {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        LL ans = 3;        // 001 010 100
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            ans += (LL)mu[i] * (n / i) * (n / i) * (n / i + 3);
        }
        printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}