让计算机很快地求出a^b%c;

让计算机很快地求出a^b
暴力相乘的话，电脑要计算 b 次。用快速幂，计算次数在 log 2(b) 级别，很实用。
原理 I
(1)如果将 a 自乘一次，就会变成 a² 。再把 a² 自乘一次就会变成 a⁴ 。然后是 a^8
…… 自乘 n 次的结果是 a^2 ⁿ

(2)a^xa^y = a^x+y，这个容易。

(3)将 b转化为二进制观看一下：

比如b=(11)10 就是 (1011) 2 。从左到右，这些 11 分别代表十进制的 8,2,18,2,1。可以说 a¹¹= a⁸ × a² × a¹
为什么要这样表示？因为在快速幂的过程中，我们会把 a 自乘为 a^2
，然后 a^2a 自乘为 a⁴……像上面第一条说的。
过程会是这样：
（好长，可以不看，如果要阅读下面的模拟过程的话，要慢慢地看噢）·假设我们拿到了 a，并且 b=11。想求 a^11 ，但是又不想乘11次，有点慢。·以电脑视角稍稍观察一下 b=11，二进制下是 b=1011。·制作一个 base。现在 base=a，表示的是，a¹ = a。待会base会变的。·制作一个 ansans，初值 11，准备用来做答案。

while(b > 0)
{

·循环一。看b（二进制）的最后一位是 1 吗？ 是的。这代表 a¹¹= a⁸×a²×a¹ 中的“ ×a¹ ”存在。所以 ans *= base。

if(b & 1)
    ans *= base;

/*关于 b & 1：
“&”美名曰“按位与”。
x & y 是二进制 x 和 y 的每一位分别进行“与运算”的结果。
与运算，即两者都为 1 时才会返回 1，否则返回 0。
那么 b & 1

  二进制

b     =    1011
1     =    0001
b&1   =    0001

因为 1（二进制）的前面几位全部都是 0，
所以只有 b 二进制最后一位是 1 时，b & 1 才会返回 1。
挺巧妙的，并且很快)*/

·然后 basebase 努力上升，他通过自乘一次，使自己变成 a² 。

base *= base;

同时

b >>= 1;

它把（二进制的）自己每一位都往右移动了。原来的最后第二位，变成了最后第一位！b=(101) 2 。

}

·循环二，再看看 b，最后一位还是 1。这说明有“ ×a ² ”，ans∗=base。 继续努力，通过 base∗=base 让自己变成了 a ⁴ 。然后 b 也右移 一位,b=10。循环三，可是 b 的最后一位不再是 1 了，说明不存在“ × a⁴ ”。base 自我升华，达到了 a⁸ 。且 b>>=1。这一步中，答案没有增加，可是毕竟 b>0，还有希望。·循环四，b 的最后一位是 1，这说明“ ×a⁸ ”的存在。ans *= base。由于 b 再右移一位就是 0 了，循环结束。

总的来说，如果 b在二进制上的某一位是 1，我们就把答案乘上对应的 。不懂的话，请结合代码理解~
实现

int quickPower(int a, int b)//是求a的b次方
{
    int ans = 1, base = a;//ans为答案，base为a^(2^n)
    while(b > 0)//b是一个变化的二进制数，如果还没有用完
    {
        if(b & 1)//&是位运算，b&1表示b在二进制下最后一位是不是1，如果是：
            ans *= base;//把ans乘上对应的a^(2^n)

        base *= base;//base自乘，由a^(2^n)变成a^(2^(n+1))
        b >>= 1;//位运算，b右移一位，如101变成10（把最右边的1移掉了），10010变成1001。现在b在二进制下最后一位是刚刚的倒数第二位。结合上面b & 1食用更佳
    }
    return ans;
}

取余运算
快速幂经常要结合取余运算。这里也讲一点。

取余运算有一些好用的性质，包括：

(A+B) mod b = (A mod b + B mod b) mod b
(A×B) mod b = ((A mod b) × (B mod b)) mod b
证明都很简单，如果要说服自己的话拿起笔试试吧。可设 A = k_A × b + R_A
于是快速幂过程中可以

while(b > 0)
{
    if(b & 1)
    {
        ans *= base;
        ans %= m;
    }

    base *= base;
    base %= m;
    b >>= 1;
}

能保证这样下来最后的结果与“先乘到最后，再取余”的结果一样。