质数

欧几里德证明“质数有无穷多个”

假设质数是有限个，不妨设其为 2, 3, 5, ..., p，即 p 为最大质数
令 q = 2 x 3 x 5 x ... x p + 1
若 q 为质数，则 q > p，与 p 为最大质数矛盾
若 q 为合数，则找其约数（分解质因数），得到 q 对 2, 3, 5, ..., p 取余，均得 1，与 q 为合数矛盾
=> 假设不成立
=> 质数有无穷多个

埃拉托色尼的“筛选法”

步骤

1. 列出 1 到 n
2. 求出 sqrt(n)
3. 划掉小于 sqrt(n) 的质数的倍数
4. 剩下的数，除 1 以外均是质数

举例

以 16 为例

step1 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

step2
sqrt(16) = 4

step3
小于 4 的质数为 2, 3
16 以内 2 的倍数为 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
16 以内 3 的倍数为 6, 9, 12, 15
剩下的数字为 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13

step4
除了 1，剩余的 2, 3, 5, 7, 11, 13 就是 16 以内全部的质数

欧拉乘积公式

• 欧拉通过研究下方这个级数公式

[epsilon(s) = frac{1}{1^s} + frac{1}{2^s} + frac{1}{3^s} + ... ]

• 得到了欧拉乘积公式（其中 p 是全体质数）

[epsilon(s) = prodlimits_{p}(1 - p^{-s})^{-1} ]

即

[epsilon(s) = frac{1}{1 - frac{1}{2^s}} imes frac{1}{1 - frac{1}{3^s}} imes frac{1}{1 - frac{1}{5^s}} imes ... ]

• 欧拉还发现一个规律（π(x) 的意思是小于 x 的所有的质数的个数）

[pi(x) approx frac{x}{lnx} ]

高斯的发现

• 质数的密度

[ ho(x) approx frac{1}{lnx} ]

勒让德的“素数定理”

• 1798 年，勒让德提出“素数猜想”

[pi(x) = int_0^x frac{dt}{lnt} + C ]

• 1849 年，高斯说他在 1792 年左右就发现了这个规律，于是高斯与勒让德共享这个结论
• 1896 年，两位年轻的数学家阿达马(J.Hadamard)和德·拉·瓦莱布桑(C. J. de la Vallée Poussin)按照黎曼(B. Riemann)的思路，各自独立地证明了素数定理
• 1949 年，两位年轻的数学家——31岁的赛尔伯格(A. Selberg)和35岁的爱多士(P. Erdös)分别独立地证明了素数定理（用了新的方法）

科赫的补充

• 若“黎曼猜想”被证实，则余项

[C approx sqrt{x} lnx ]

为何除到 sqrt(n)

设 n 为合数
不妨设 n = a x b，其中 a, b 均为大于 1 的自然数
=> a, b 之中总有一个数小于或等于 sqrt(n)，不妨设 a <= sqrt(n)
除了 sqrt(n)（若存在），其他的 a, b 都是一大一小的
=> b >= sqrt(n)
即，若大于 1 的自然数 n 没有小于 sqrt(n) 的因数，则其也不会有大于 sqrt(n) 的因数
所以只检查小于或等于 sqrt(n) 的因数即可

参考

• 李永乐老师的公开课：>>> 传送门