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  • 拉格朗日反演学习笔记

    拉格朗日反演

    用于在(O(nlog n))的时间内求([x^n]G(x)),其中(G(x))满足(F(G(x))=x)(F(x))已知,且([x^0]F(x)=[x^0]G(x)=0,[x^1]F(x) eq 0,[x^1]G(x) eq 0)

    这里有个小结论(我不会证):若(F(G(x))=x),则(G(F(x))=x)

    (g_i=[x^i]G(x)),代入(G(F(x))=x)得到

    [sum_{i=1}^{inf} g_i imes F^i(x) = x ]

    两边求导得

    [sum_{i=1}^{inf} g_i imes i imes F^{i-1}(x) imes F'(x) = 1 ]

    考虑两边除以(F^n(x)),并取([x^{-1}])的系数:

    [[x^{-1}]sum_{i=1}^{inf} g_i imes i imes F^{i-n-1}(x) imes F'(x) = [x^{-1}]frac{1}{F^n(x)} ]

    (i eq n)时,(F^{i-n-1}(x)F'(x))等价于(frac{1}{i-n}(F^{i-n})'(x)),而任何函数求导后(-1)次项均为0,所以上式可以转化为:

    [[x^{-1}] g_n imes n imes frac{F'(x)}{F(x)}=[x^{-1}]frac{1}{F^n(x)} ]

    对于(frac{F'(x)}{F(x)}),有:

    [egin{aligned} frac{F'(x)}{F(x)} &= frac{a_1+2a_2x+3a_3x^2+...}{a_1x+a_2x^2+a_3x^3...}\ &= frac{a_1+2a_2x+3a_3x^2+...}{a_1x} imesfrac{1}{1+frac{a_2}{a_1}x+frac{a_3}{a_1}x^2+...} end{aligned} ]

    根据多项式求逆,后面那个多项式的常数项为(1),而前面那个多项式的(-1)次项的系数为1,于是([x^{-1}]frac{F'(x)}{F(x)}=1)

    代入得

    [g_n=[x^{-1}]frac{1}{nF^n(x)} ]

    再令(F'(x)=F(x)/x),原式就有:

    [g_n=[x^{n-1}]frac{x^n}{nF^n(x)}=[x^{n-1}]frac{1}{nF'^n(x)} ]

    于是就可以(n log n)求第(n)次项了。

    扩展拉格朗日反演

    用于在(O(nlog n))的时间内求([x^n]G(x)),其中(G(x))满足(F(G(x))=H(x))(H(x))已知。

    那么:

    [g_n=[x^{n-1}]frac{H'(x)}{nF'^n(x)} ]

    证明与上面类似。

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