二分搜索树

目录

0 二分搜索

1 二分搜索树

2 插入元素

3 查找元素

4 二分搜索树的遍历---深度优先

5 二分搜索树的层序遍历---广度优先

6 二分搜索树删除一个节点

1 二分搜索

这部分代码已经在数组中给出了详细的介绍，此处只给出实现代码：

   //在一个有效整数数组中根据二分法查找一个整数
    public int binarySearch(int[] arr,int target){
        //在[left...r]的区间范围内寻找target
        int left = 0,r = arr.length-1;
        //当left==r时，区间仍然是有效的只不过此时区间中只有一个元素
        while (left <= r){
            //防止溢出的求中值
            int mid = left+(r-left)/2;
            if (arr[mid] == target){
                return mid;
            }
            if (target > arr[mid]){
                //target在[mid+1...r]中
                left = mid + 1;
            }else{ //target在[left...mid-1]中
                r = mid - 1;
            }
        }
        //当搜索不到时就返回-1
        return -1;
    }

 在此处给出二分查找的递归版本，递归版本要比循环的性能上要稍微差一点，但整体上还是一个级别的时间复杂度的，都是O(logn)级别：

   // 二分查找法的递归版本
    public static int find(Comparable[] arr, Comparable target) {

        return find(arr, 0, arr.length-1, target);
    }

    private static int find(Comparable[] arr, int left, int r, Comparable target){
        if (left > r){
            //当查不到元素时就返回-1
            return -1;
        }
        
        int mid = left + (r-left)/2;
        if (arr[mid].compareTo(target) == 0){
            return mid;
        }else if (arr[mid].compareTo(target) > 0){
            return find(arr,left,mid - 1,target);
        }else {
            return find(arr,mid+1,r,target);
        }
    }

注：上面的查找都是考虑到数组中没有重复元素的情况，如果有重复元素那么返回的数值索引可能会不一样，因此有另外两个函数floor和ceil分别查找第一次出现的索引和最后一次出现的索引。

2 树的基本概念

（1）二叉树

每个结点至多拥有两棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结点)，并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

（2）二叉树的性质

（1）若二叉树的层次从0开始，则在二叉树的第i层至多有2^i个结点(i>=0)。

（2）高度为k的二叉树最多有2^(k+1) - 1个结点(k>=-1)。 (空树的高度为-1)

（3）对任何一棵二叉树，如果其叶子结点(度为0)数为m, 度为2的结点数为n, 则m = n + 1。

（3）完美二叉树（满二叉树）

一个深度为k(>=-1)且有2^(k+1) - 1个结点的二叉树称为完美二叉树。

（4）完全二叉树

完全二叉树从根结点到倒数第二层满足完美二叉树，最后一层可以不完全填充，其叶子结点都靠左对齐。

3 二分搜索树

二分搜索树一般查用于查找表的实现，即字典数据结构：

 优势：不仅可查找数据；还可以高效地插入，删除数据，还可以方便维护数据之间的关系。那么对于查找表这种数据结构，其底层采用不同的实现形式，所带来的性能也是不同的，具体性能如下图所示：

二分搜索树的定义：是一个二叉树，每个节点的键值大于左孩子，小于右孩子。二分搜索树与堆不同，不一定是完全二叉树，因此底层不容易直接用数组表示故采用链表来实现二分搜索树。对于具体二分搜索树可以看如下图所示：

对于实际问题中，需要存储的还有value值，但是在分析中一般更重要的是分析key值，在上图中也是只存储了key值并不体现value值。在二分搜索树中对于前中后序其本质在于位置的不同，与遍历的次数是没有关系的，在一次遍历中也可以有多种遍历方式。

 2 插入元素

如下图中，想要把元素60插入树中，首先要比较的就是根节点，发现元素比根节点大则应插入在根节点的右侧

 继续比较发现58比60小那么应该在58的右侧，因为58右侧无节点便可以直接插入了。

 

 当插入元素小时如下图，当插入28时，因为28小，所以应该在41的左节点侧

 

 因为28又比22大因此会在22右子树中，继续比较28与33，因为28小所以应该在33的左子树中

33无子节点了，因此便可以插入了28，最终插入效果如下：

 

 在插入节点时还有一种特殊情况即插入的元素和树中的值相等，此时应该用插入的元素直接覆盖掉旧元素即可：

 代码如下：

// 二分搜索树
// 由于Key需要能够进行比较，所以需要extends Comparable<Key>
public class BST<Key extends Comparable<Key>, Value> {

    // 树中的节点为私有的类, 外界不需要了解二分搜索树节点的具体实现
    private class Node {
        private Key key;
        private Value value;
        private Node left, right;

        public Node(Key key, Value value) {
            this.key = key;
            this.value = value;
            left = right = null;
        }
    }

    private Node root;  // 根节点
    private int count;  // 树种的节点个数

    // 构造函数, 默认构造一棵空二分搜索树
    public BST() {
        root = null;
        count = 0;
    }

    // 返回二分搜索树的节点个数
    public int size() {
        return count;
    }

    // 返回二分搜索树是否为空
    public boolean isEmpty() {
        return count == 0;
    }

    // 向二分搜索树中插入一个新的(key, value)数据对
    public void insert(Key key, Value value){
        root = insert(root, key, value);
    }
    // 向以node为根的二分搜索树中, 插入节点(key, value), 使用递归算法
    // 返回插入新节点后的二分搜索树的根
    private Node insert(Node node, Key key, Value value){

        if( node == null ){
            count ++;
            return new Node(key, value);
        }
        //如果相等便更新数据
        if( key.compareTo(node.key) == 0 ){
            node.value = value;
        } else if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
            node.left = insert( node.left , key, value);
        } else  { // key > node->key
            node.right = insert( node.right, key, value);
        }
        
        return node;
    }
}

 3 查找元素

对于二分搜索树的查找元素其实和插入部分元素相同的，其思路是基本一致的，在这里直接给出代码：

    // 查看二分搜索树中是否存在键key
    public boolean contain(Key key){
        return contain(root, key);
    }

    // 在二分搜索树中搜索键key所对应的值。如果这个值不存在, 则返回null
    public Value search(Key key){
        return search( root , key );
    }

    // 查看以node为根的二分搜索树中是否包含键值为key的节点, 使用递归算法
    private boolean contain(Node node, Key key){
        //如果最终查不到返回false
        if( node == null ) {
            return false;
        }
        // 查找到了
        if( key.compareTo(node.key) == 0 ){
            return true;
        } else if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
            // 当前key小于节点便在左侧查找
            return contain( node.left , key );
        } else{// key > node->key
            // 当前key小于节点便在右侧查找
            return contain( node.right , key );
        }
    }

    // 在以node为根的二分搜索树中查找key所对应的value, 递归算法
    // 若value不存在, 则返回NULL
    private Value search(Node node, Key key){
        if( node == null ){
            return null;
        }
        
        if( key.compareTo(node.key) == 0 ){
            return node.value;
        } else if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
            return search( node.left , key );
        } else {// key > node->key
            return search( node.right, key );
        }
    }

 4 二分搜索树的遍历---深度优先

对树中一个节点的遍历其图示如下（前序遍历），可以看出相当于父节点其实是访问了三次的，第一次来到父节点，然后访问左子树，再回到父节点，访问右子树，再回到父节点。

 对于前中后序遍历其代码如下：

    // 二分搜索树的前序遍历
    public void preOrder(){
        preOrder(root);
    }
    // 二分搜索树的中序遍历
    public void inOrder(){
        inOrder(root);
    }
    // 二分搜索树的后序遍历
    public void postOrder(){
        postOrder(root);
    }

    // 对以node为根的二叉搜索树进行前序遍历, 递归算法
    private void preOrder(Node node){

        if( node != null ){
            // 输出遍历的节点值
            System.out.println(node.key);
            preOrder(node.left);
            preOrder(node.right);
        }
    }

    // 对以node为根的二叉搜索树进行中序遍历, 递归算法
    private void inOrder(Node node){

        if( node != null ){
            inOrder(node.left);
            System.out.println(node.key);
            inOrder(node.right);
        }
    }

    // 对以node为根的二叉搜索树进行后序遍历, 递归算法
    private void postOrder(Node node){

        if( node != null ){
            postOrder(node.left);
            postOrder(node.right);
            System.out.println(node.key);
        }
    }

 从上面的代码中也可以看出，三种遍历方式其本质都是一样的，只不过在遍历时其输出的语句的值的位置不同而已。

 5 二分搜索树的层序遍历---广度优先

层序遍历需要借助另一种数据结构即：队列

在树中遍历到节点时便把元素入队如28，当队列中元素不为空时便弹出对首元素，在弹出后把该节点的左右子节点入队。

 继续弹出队首元素16，然后再把16的左右子节点入队，此时整个队列如上图所示。接着把30出队，再把30的左右子节点入队，依次进行下去即可。在遍历到13这些叶子节点时其实还是重复的上面的操作，只不过是叶子节点没有子节点了，所以不会有新元素入队。其层序遍历如下图所示：

    // 二分搜索树的层序遍历
    public void levelOrder(){
        // 队列的底层采用链表实现
        Queue<Node> q = new LinkedList<Node>();
        q.add(root);
        while( !q.isEmpty() ){
            // 当队列不为空时首先队首元素出队
            Node node = q.remove();
            // 输出节点值
            System.out.println(node.key);
            // 左右子节点入队
            if( node.left != null ){
                q.add( node.left );
            }
            if( node.right != null ){
                q.add( node.right ); 
            }
        }
    }

 层序遍历有一个非常好的优点便是其时间复杂度为O(n)。

 6 二分搜索树删除一个节点

找到一个节点，然后删除这是简单的，问题的关键在于当删除了节点后如何还能保持二分搜索树的性质。直接讨论删除比较困难，先从最简单的入手如：删除二分搜索树中的最大值和最小值节点。因为二分搜索树的性质为每个节点值大于左孩子小于右孩子，因此不断地进行左侧递归遍历，直至再无左子树便是整个二分搜索树中最小值；对于最大值也是类似，便是不断进行右侧递归遍历。对于如下图所示的二分搜索树很简单，只需要直接删除最小元素即可了。

 当但一个二分搜索树为下图情况时，便不是直接删除节点22了，删除之后如何处理剩下的元素。

 根据二分搜索树的性质，虽然22的右子树节点一定比22大，但也一定比22的父亲节点要小，因此可以直接把右子树直接向上移动即可。

 同样的删除最大值也是类似的思路，如下图中删除最大值，则需要把左子树节向上移动填充即可。

 代码如下：

    // 返回以node为根的二分搜索树的最小键值所在的节点
    private Node minimum(Node node){
        if( node.left == null ){
            return node;
        }
        // 不断进行左侧递归遍历
        return minimum(node.left);
    }

    // 返回以node为根的二分搜索树的最大键值所在的节点
    private Node maximum(Node node){
        if( node.right == null ){
            return node;
        }
        // 不断进行右侧递归遍历
        return maximum(node.right);
    }

     // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点，返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMin(Node node){
        // 当再无左节点时便可以删除了
        if( node.left == null ){
            // 返回的是当前节点的右节点
            Node rightNode = node.right;
            // 让当前节点的右节点为空，相当于释放了内存，便于回收
            node.right = null;
            count --;
            return rightNode;
        }
        node.left = removeMin(node.left);
        return node;
    }

     // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点，返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMax(Node node){
        if( node.right == null ){
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            count --;
            return leftNode;
        }
        node.right = removeMax(node.right);
        return node;
    }

 从上面的删除最大最小值可以看出，最大值只有左节点，最小值只有右节点。因此可以进行推广删除一个只有左节点或者只有右节点的节点。那么如何删除一个有左右子节点的节点，其图示如下：

 

待删除的节点是58，那么应该找一个节点去填充位置，因为二分搜索树的性质右子树的节点都大于左子树的节点，父节点要大于左子树小于右子树，所以填充的节点应该是右子树中的最小值，即59。 删除部分代码如下：

// 二分搜索树
// 由于Key需要能够进行比较，所以需要extends Comparable<Key>
public class BST<Key extends Comparable<Key>, Value> {

    // 树中的节点为私有的类, 外界不需要了解二分搜索树节点的具体实现
    private class Node {
        private Key key;
        private Value value;
        private Node left, right;

        public Node(Key key, Value value) {
            this.key = key;
            this.value = value;
            left = right = null;
        }
        // 进行节点的赋值，为了解决successor中指向为空的问题
        public Node(Node node){
            this.key = node.key;
            this.value = node.value;
            this.left = node.left;
            this.right = node.right;
        }
    }

    private Node root;  // 根节点
    private int count;  // 树种的节点个数

    // 构造函数, 默认构造一棵空二分搜索树
    public BST() {
        root = null;
        count = 0;
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中键值为key的节点, 递归算法，返回删除节点后新的二分搜索树的根
    Node remove(Node node, Key key){

        if( node == null ){
            return null;
        }
        if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
            node.left = remove( node.left , key );
            return node;
        } else if( key.compareTo(node.key) > 0 ){
            node.right = remove( node.right, key );
            return node;
        } else{   // 前面的两个判断其实就是一个寻找的过程
            // 待删除节点左子树为空的情况，与删除最小值相同
            // 当该节点左右孩子都为空时其实是进入了这个if中
            if( node.left == null ){
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                count --;
                return rightNode;
            }

            // 待删除节点右子树为空的情况，与删除最大值相同
            if( node.right == null ){
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                count--;
                return leftNode;
            }

            // 待删除节点左右子树均不为空的情况
            // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点，用这个节点顶替待删除节点的位置
            Node successor = new Node(minimum(node.right));
            // 多了一个新节点所以count要自增
            count ++;
            // 删除节点右子树中的最小值。在此处要注意上面是把待删除节点右子树的最小值赋值给sccessor，当删除最小值后suceessor也就指向空了
            // 因此要用new 而不是直接赋值
            successor.right = removeMin(node.right);
            successor.left = node.left;
            // 让node的左右节点都为空
            node.left = node.right = null;
            // 此时node已经被删除了，因此count要自减
            count --;
            return successor;
        }
    }
}

 注：要注意当数据是递增的时候二分搜索树就会退化成一个链表，此时时间复杂度会很高，因此才有了后面的红黑树、平衡二叉树等

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