[数学建模（一）]蒙特卡罗方法

1.概念

蒙特卡罗方法（随机取样法）是一种计算方法。原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。

2.两个应用例子

例子1：求π的值。

正方形内部有一个相切的圆，它们的面积之比是π/4。现在，在这个正方形内部，随机产生1000000个点（即1000000个坐标对 (x, y)），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的内部。如果这些点均匀分布，那么圆内的点应该占到所有点的 π/4，因此将这个比值乘以4，就是π的值。

 

MATLAB实现：

N=1000000;    %随机点的数目

x=rand(N,1);  %rand 生成均匀分布的伪随机数。分布在（0~1）之间

y=rand(N,1);  %矩阵的维数为N×1

count=0;

for i=1:N

   if (x(i)^2+y(i)^2<=1)

     count=count+1;

    end

end

PI=4*count/N

 

例子2：计算积分

计算函数 y = x^2 在 [0, 1] 区间的积分，就是求出红色曲线下面的面积。这个函数在 (1,1) 点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。在该正方形内部，产生大量随机点，可以计算出有多少点落在红色区域（判断条件 y < x^2）。这个比重就是所要求的积分值。

 

MATLAB实现：

clear

clc

N=10000;  

x=rand(N,1); 

y=rand(N,1);

count=0;

for i=1:N

   if (y(i)<=x(i)^2)

     count=count+1;

   end

end

result=count/N

 

3. 与拉斯维加斯方法的比较

（1）蒙特卡罗算法：假如筐里有100个苹果，让我每次闭眼拿1个，挑出最大的。于是我随机拿1个，再随机拿1个跟它比，留下大的，再随机拿1个……我每拿一次，留下的苹果都至少不比上次的小。拿的次数越多，挑出的苹果就越大，但我除非拿100次，否则无法肯定挑出了最大的。——尽量找好的，但不保证是最好的。

特点：采样越多，越近似最优解；

（2）拉斯维加斯方法：假如有一把锁，给我100把钥匙，只有1把是对的。于是我每次随机拿1把钥匙去试，打不开就再换1把。我试的次数越多，打开（最优解）的机会就越大，但在打开之前，那些错的钥匙都是没有用的。——尽量找最好的，但不保证能找到。

特点：采样越多，越有机会找到最优解。

4.利用蒙特卡罗算法求机器人的工作空间

思想：设置机器人每个关节角的运动范围，利用蒙特卡罗算法求机器人工作空间。

%**************************蒙特卡洛法求解机器人工作空间*********************

%定义变量
deg=pi/180;
num=0.001;

%定义关节角范围
theta1=[-180,180]*deg;
theta2=[-90,90]*deg;
theta3=[-150,150]*deg;
theta4=[-150,150]*deg;
theta5=[-180,180]*deg;
theta6=[-180,180]*deg;

%定义连杆变量
a2=612.7*num;
a3=571.6*num;
d2=163.9*num;
d5=115.7*num;

%生成一个数组来保存随机变量
i=1:20000;
PX=zeros(size(i));
PY=zeros(size(i));
PZ=zeros(size(i));
%设置随机点
for j=1:1:10000
    %randNum=rand();

    theta1=(-180+360*rand());
    theta2=(-90+180*rand());
    theta3=(-150+300*rand());
    theta4=(-150+300*rand());
    theta5=(-180+360*rand());
    theta6=(-180+180*rand());
    
%根据运动学方程，求出机械臂末端执行器在基坐标中的位置向量表达式
   PX(j)=cos(theta1)*(d5*sin(theta2+theta3+theta4)+a2*cos(theta2)+...
       a3*cos(theta2+theta3))+d2*sin(theta1);
   PY(j)=sin(theta1)*(d5*sin(theta2+theta3+theta4)+a2*cos(theta2)+...
        a3*cos(theta2+theta3))-d2*cos(theta1);
   PZ(j)=d5*sin(theta2+theta3+theta4)+a3*sin(theta2+theta3)+a2*sin(theta2);
end

%求解坐标值并且输出三视图
subplot(2,2,1);
plot3(PX,PY,PZ,'.');
hold on;
subplot(2,2,2);
plot3(PX,PY,PZ,'.');
view([0 0]);
hold on;
subplot(2,2,3);
plot3(PX,PY,PZ,'.');
view(2);
hold on;

5.更深度的应用

蒙特卡洛树搜索---深度学习，强化学习