P2523 [HAOI2011]Problem c DP+组合

题意：

给 n 个人安排座位，先给每个人一个 \(1\thicksim n\) 的编号，设第i 个人的编号为 \(a_i\)（不同人的编号可以相同）。

接着从第一个人开始，依次入座，第 i 个人来了以后尝试坐到\(a_i\)，如果 \(a_i\) 被占据了，就尝试 \(a_{i+1}\),若\(a_{i+1}\)也被占据了的话就尝试\(a_{i+2}\) ……，如果一直尝试到第 n 个都不行，该安排方案就不合法。

然而有 m个人的编号已经确定，你只能安排剩下的人的编号，求有多少种合法的安排方案模M。

范围&性质：\(1\leq T\leq 10\),\(1\leq n,m\leq 300,2\leq M\leq 10^9,1\leq p_i,q_i\leq n\)

分析：

分析题意可以得到，对于不同编号的排列，可能得到的座位结果是相同的，所以我们考虑用编号构造DP方程。

1. 记\(s[i]\)表示编号大于等于\(i\)的人的个数，对于有解的情况必定满足对于任意的\(1\leq i \leq n, s[i]\leq (n-i+1)\)因为编号为\(i\)以后的凳子只有\(n-i+1\)个

2. 记\(f[i][j]\)表示剩余\(n-m\)个人中，已经确定了\(j\)个人，编号大于等于\(i\)可以得到转移方程如下：

   ​ $$ f[i][j]=f[i+1][j-k]\times C_{j}^{k} (0\leq k\leq n-i+1-s[i]) $$

   整体的时间复杂度为\(\omicron(Tn^3)\)的

   代码：

   #include<bits/stdc++.h>
   
   using namespace std;
   
   namespace zzc
   {
   	long long c[305][305],sum[305],f[305][305];
   	long long t,n,m,mod;
   	
   	void work()
   	{
   		scanf("%lld",&t);
   		while(t--)
   		{
   			bool flag=false;
   			memset(sum,0,sizeof(sum));
   			memset(f,0,sizeof(f));
   			scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&mod);
   			for(int i=1;i<=m;i++)
   			{
   				long long x,tmp;
   				scanf("%lld%lld",&x,&tmp);
   				sum[tmp]++;
   			}
   			
   			for(int i=n;i>=1;i--)
   			{
   				sum[i]+=sum[i+1];
   				if(sum[i]>n-i+1)
   				{
   					printf("NO\n");
   					flag=true;
   					break;
   				}
   			}
   			if(flag) continue;
   			
   			c[0][0]=1;
   			c[1][1]=c[1][0]=1;
   			for(int i=2;i<=n;i++)
   			{
   				c[i][0]=1;
   				for(int j=1;j<=i;j++)
   				{
   					c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
   				}
   			}
   			
   			f[n+1][0]=1;
   			for(int i=n;i>=1;i--)
   			{
   				for(int j=0;j<=n-sum[i]-i+1;j++)
   				{
   					for(int k=0;k<=j;k++)
   					{
   						f[i][j]=(f[i][j]+f[i+1][j-k]*c[j][k]%mod)%mod;
   					}
   				}
   			}
   			printf("YES %lld\n",f[1][n-m]);
   			
   		}
   	}
   	
   }
   
   int main()
   {
   	zzc::work();
   	return 0;
   }