P4299 首都 LCT

题意：

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分析：

题意：给定一片森林，三种操作：加边，求每个连通块的重心编号，求所有连通块重心编号异或和

• 暴力

好吧，这也不是很暴力的做法，(lca) 的启发式合并求重心，每次把小的连通块向大的连通块上一个点一个点合并，每次重心向大小超过 (frac{siz}{2}) 的方向挪动一格，复杂度 (O(nlog^2))

• 优化：

我们发现重心具有很优秀的性质，比如 合并两个连通块时，重心一定在原来两个连通块重心所连的路径上

所以我们直接用 (lct) 维护，(split) 出两个重心之间的路径，然后路径就是一个 (splay) 层高 (log) 每次选择左右两个儿子中大于 (frac{siz}{2}) 的递归，复杂度 (O(nlog))

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace zzc
{
    int read()
    {
        int x=0,f=1;char ch=getchar();
        while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
        while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
        return x*f;
    }

    const int maxn = 1e5+5;
    int n,m,ans;
    int anc[maxn];
    char opt[5];
    
    namespace lct
    {
        int top,q[maxn],fa[maxn],siz[maxn],isiz[maxn],ch[maxn][2],rev[maxn];
        void pushup(int rt){siz[rt]=siz[ch[rt][0]]+siz[ch[rt][1]]+isiz[rt]+1;}
        void pushdown(int rt){int l=ch[rt][0],r=ch[rt][1];if(rev[rt]){swap(ch[rt][0],ch[rt][1]);rev[l]^=1;rev[r]^=1;rev[rt]=0;}}
        bool isroot(int rt){return ch[fa[rt]][0]!=rt&&ch[fa[rt]][1]!=rt;}
        void rotate(int x)
        {
            int y=fa[x],z=fa[y],l,r;
            if(ch[y][0]==x)l=0;else l=1;r=l^1;
            if(!isroot(y)){if(ch[z][0]==y)ch[z][0]=x;else ch[z][1]=x;}
            fa[y]=x;fa[x]=z;fa[ch[x][r]]=y;
            ch[y][l]=ch[x][r];ch[x][r]=y;
            pushup(x);pushup(y);
        }
        void splay(int x)
        {
            top=1;q[top]=x;
            for(int i=x;!isroot(i);i=fa[i]) q[++top]=fa[i];
            for(int i=top;i;i--) pushdown(q[i]);
            while(!isroot(x))
            {
                int y=fa[x],z=fa[y];
                if(!isroot(y))
                {
                    if((ch[z][0]==y)^(ch[y][0]==x)) rotate(x);
                    else rotate(y);
                }
                rotate(x);
            }
            pushup(x);
    	}
        void access(int x){for(int t=0;x;t=x,x=fa[x])splay(x),isiz[x]-=siz[t],isiz[x]+=siz[ch[x][1]],ch[x][1]=t,pushup(x);}
        void makeroot(int x){access(x);splay(x);rev[x]^=1;}
        void split(int x,int y){makeroot(x),access(y),splay(y);}
        void link(int x,int y){split(x,y),fa[x]=y,isiz[y]+=siz[x];pushup(y);}
        int search(int x)
        {
            int suml=0,sumr=0,rs,ls,sum=siz[x]>>1,chk=siz[x]&1,res=2e9+7,ll,rr;
            while(x)
            {
                pushdown(x);
                ll=suml+siz[ls=ch[x][0]];
                rr=sumr+siz[rs=ch[x][1]];
                if(ll<=sum&&rr<=sum)
                {
                    if(chk){res=x;break;}
                    else if(x<res)res=x;
                }
                if(ll<rr) suml+=siz[ls]+isiz[x]+1,x=rs;
                else sumr+=siz[rs]+isiz[x]+1,x=ls;
            }	
			return res;
		}
	}
    using namespace lct;
    int find(int x){return anc[x]==x?x:anc[x]=find(anc[x]);}

    void work()
    {
        int x,y,z;
        n=read();m=read();
        for(int i=1;i<=n;i++) siz[i]=1,anc[i]=i,ans^=i;
        while(m--)
        {
            scanf("%s",opt);
            if(opt[0]=='A')
            {
                x=read();y=read();
                link(x,y);
				x=find(x),y=find(y);
                split(x,y);
                z=search(y);
                ans=ans^x^y^z;
                anc[x]=anc[y]=anc[z]=z;
            }
            else if(opt[0]=='Q') x=read(),printf("%d
",find(x));
            else printf("%d
",ans);
        }
    }

}

int main()
{
    zzc::work();
    return 0;
}