P4389 付公主的背包 生成函数

题意：

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分析：

• 暴力

直接完全背包，复杂度 (O(nmfrac{m}{v}))

• 优化

(O(frac{nm}{v}))写出生成函数 (O(n^2log)) 乘起来，总复杂度 (O(frac{nm}{v}+n^2log ))

• 正解

我们发现这些乘法操作太多了，所以按照套路对于 (n) 个式子取一遍离散对数，然后加起来再 exp 回去

那么我们开始推柿子了，首先原式 (displaystyle f(n)=sum_{i=0}^{frac{m}{v}}x^{iv}) , 我们要求它的对数

[f(n)=frac{1}{1-x^v} \ ln(f(n))=ln(frac{1}{1-x^v})=ln(1)-ln(1-x^v)=-ln(1-x^v) ]

我们把要求的东西转化了一下,记 (F(x)=ln(1-x^v),G(x)=ln(F(x))) ,先求导

[G'(x)=ln'(F(x))F'(x) \ =frac{F'(x)}{F(x)} \ =frac{-vx^{v-1}}{1-x^v} \ =-vx^{v-1}frac{1}{1-x^v} \ =-vx^{v-1}sum_{i=0}^{infty}(x^v)^i \ =sum_{i=0}^{infty}-vx^{iv+v-1} \ =sum_{i=0}^{infty}-vx^{iv-1} ]

然后再积分回去得到

[G(x)=int G'(x) \ =int sum_{i=0}^{infty}-vx^{iv-1} \ =sum_{i=0}^{infty} int -vx^{iv-1} \ =sum_{i=0}^{infty} frac{-v}{iv}x^{iv} \ =sum_{i=0}^{infty} -frac{1}{i}x^{iv} ]

至此我们得到了价值为 (v) 的物品的生成函数的离散对数，处理一个物品的复杂度还是 (O(frac{m}{v})) ,不够优秀，我们发现价值相同的物品的生成函数长的一模一样，所以我们考虑开一个桶，存一下每种价值的物品个数，然后每一种价值还要乘上 (cnt[i]) (相当于 (cnt[i]) 个这样的离散对数相加) ，这样处理的复杂度是调和级数 (O(mlog))

整体复杂度变成了 (O(mlog))

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define inl inline
#define reg register

using namespace std;

namespace zzc
{
    typedef long long ll;
    inl ll read()
    {
        ll x=0,f=1;char ch=getchar();
        while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
        while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
        return x*f;
    }

    const int maxn = 3e5+5;
    const ll mod = 998244353;
    ll n,lim,l,m;
    ll v[maxn],cnt[maxn];
    ll a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn],e[maxn],f[maxn],g[maxn],rev[maxn];

   	ll qpow(ll x,ll y)
	{
		ll res=1;
		while(y)
		{
			if(y&1) res=res*x%mod;
			x=x*x%mod;
			y>>=1;
		}
		return res;
	}
	
	void ntt(ll *a,ll inv)
	{
		for(ll i=0;i<lim;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
		for(ll len=1;len<lim;len<<=1)
		{
			ll w1=qpow(inv==1?3:332748118,(mod-1)/(len<<1));
			for(ll i=0;i<lim;i+=(len<<1))
			{
				ll w=1;
				for(ll j=0;j<len;j++)
				{
					ll x=a[i+j],y=w*a[i+j+len]%mod;
					a[i+j]=(x+y)%mod;
					a[i+j+len]=(x-y+mod)%mod;
					w=w*w1%mod;
				}
			}
		}
		if(inv==1) return ;
		long long tmp=qpow(lim,mod-2);
		for(int i=0;i<=lim;i++) a[i]=(a[i]*tmp%mod+mod)%mod;
	}
	
	void get_len(int k)
	{
		lim=1,l=0;
		while(lim<(k<<1)) lim<<=1,l++;
		for(ll i=0;i<lim;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	}
	
	void get_inv(ll *f,ll *g,ll k)
	{
		if(k==1)
		{
			g[0]=qpow(f[0],mod-2);
			return ;
		}
		get_inv(f,g,(k+1)>>1);
		get_len(k);
		for(ll i=0;i<k;i++) c[i]=f[i];
		for(ll i=k;i<lim;i++) c[i]=0;
		ntt(c,1);ntt(g,1);
		for(ll i=0;i<lim;i++) g[i]=((2ll-c[i]*g[i]%mod+mod)%mod)*g[i]%mod;
		ntt(g,-1);
		for(ll i=k;i<lim;i++) g[i]=0;
	}
	
	void get_der(ll *f,ll *g,ll k)
	{
		for(ll i=1;i<k;i++) g[i-1]=i*f[i]%mod;
		g[k-1]=0;
	}
	
	void get_int(ll *f,ll *g,ll k)
	{
		for(ll i=1;i<k;i++) g[i]=f[i-1]*qpow(i,mod-2)%mod;
		g[0]=0;
	}
	
	void get_ln(ll *f,ll *g,ll k)
	{
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(b,0,sizeof(b));
		get_der(f,a,k);get_inv(f,b,k);get_len(k);
		ntt(a,1);ntt(b,1);
		for(ll i=0;i<lim;i++) a[i]=a[i]*b[i]%mod;
		ntt(a,-1);
		get_int(a,g,k); 
	}	
	
	void get_exp(ll *a,ll *b,ll k)
	{
		if(k==1)
		{
			b[0]=1;
			return ;	
		}
		get_len(k);
		get_exp(a,b,(k+1)>>1);
		get_ln(b,d,k);
		for(int i=0;i<k;i++) e[i]=a[i];
		for(int i=k;i<lim;i++) d[i]=e[i]=0;
		ntt(d,1);ntt(b,1);ntt(e,1);
		for(int i=0;i<lim;i++) b[i]=(1-d[i]+e[i]+mod)%mod*b[i]%mod;
		ntt(b,-1);
		for(int i=k;i<lim;i++) b[i]=0;
	}

    void work()
    {
       n=read();m=read();
       for(int i=1;i<=n;i++)
       {
           v[i]=read();
           cnt[v[i]]++;
       }
       for(ll i=1;i<=m;i++)
       {
           if(cnt[i])
           {
               int cur=0;
               for(int j=i;j<=m;j+=i)
               {
               	   cur++;
                   f[j]=(f[j]+qpow(cur,mod-2)*cnt[i]%mod)%mod;
               }
           }
       }
       get_exp(f,g,m+1);
       for(ll i=1;i<=m;i++) printf("%lld
",g[i]);
    }
}

int main()
{
    zzc::work();
    return 0;
}