回溯法解八后问题

    在一个8×8国际象棋盘上，有8个皇后，每个皇后占一格；要求皇后间不会出现相互“攻击”的现象，即不能有两个皇后处在同一行、同一列或同一对角线上。问共有多少种不同的方法。

 

  我们用回溯法，现在的目的不是找有多少种解法，而是只要找出一种合适的解法输出即可。

先写一个place函数，判断当前位置是否合法：

bool place(int x[],int k)
{
    int i;
    for(i=1;i<k;i++)
        if((x[i]==x[k])||(abs(x[i]-x[k])==abs(i-k)))
            return false;
    return true;
}

  这个函数以解向量x[]和皇后的行号k做参数，判断第k个皇后当前的列位置x[k]是否满足关系式，这样，他必须和第1~k-1行的所有皇后位置进行比较。

n皇后算法如下：

/*
n 后问题
输入：皇后个数n
输出： n后问题的解向量
*/

void n_queens(int n,int x[])  
{
    int k=1;          //x[0]不要
    x[1]=0;
    while(k>0)
    {
        x[k]=x[k]+1; //在当前列加1的位置开始搜索，这句很重要
        while(x[k]<=n&&(!place(x,k)))   //当前列是否满足条件
           x[k]=x[k]+1;
            
        if(x[k]<=n)  //存在满足条件的列
        {
            if(k==n) break; //是最后一个皇后，完成搜索
            else
            {
                k=k+1; x[k]=0; //不是，处理下一个皇后
            }
        }
        else                 //已判断完n列，均没有满足条件
        {
            x[k]=0; k=k-1;   //第k行复位为0，回溯到前一行 ，前一行列加1 x[k]=x[k]+1
        }
    }//end while
}

最后else {x[k]=0;不要可不可以，基本可以，为什么？

假设a[3]=0;k=3-1=2;

下一次轮到k=3; x[k]=0;

 只有一种一种情况有点影响。

当没有解时x[1]没有置0，此时x[1]=n+1;退出while循环。

上面的代码有很多注意的地方。

如判断条件为什么是while(k>0)

假设有4个皇后。

仔细想想,假设当k=1此时a[k]=4;

 a[k]还是不满足!place(x,k)))  
a[k]=5;
就执行
else
{
　　x[1]=0;
　　k--;
}
k=0;
退出while循环，
说明已经把a[1]的所有可能值遍历完了，还是找不到条件满足。即没有找到解。
n=4搜索树：

   main函数如下：

int main()
{
    int n;
    cout<<"请输入皇后的数";
    cin>>n;
    int *a=new int[n+2];
    n_queens(n,a);
    cout<<"解向量为"<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<a[i]<<ends;
    cout<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                if(j==a[i])
                    cout<<"* "<<ends; //要在*后留一个空格，口字占2格
                else
                    cout<<"口"<<ends;
            }
            cout<<endl;
    }
}

    

输出全部的解：

添加一个count全局变量，赋值为0.然后只要修改增加下面的红色代码即可。

    if(a[k]<=n)
        {
            if(k==n) //是最后一个皇后，完成搜索
            {
                count++;
                output(a,n);
                //a[k]=0; 要不要，都可以，原因同前面的一样.
                k--;
                 

            }
            else
            {
                k++;
                a[k]=0;
            }
        }

用递归求解有：

解向量 (x1,x2,......xn)
显约束 xi=1,2.....n
隐约束：
1）不同列 xi!=xj
2)不出来同一正，反对角线 |i-j|!=|xi-xj|

#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;

#define NumQueen 8
int queen[NumQueen];
int sum=0; //解决方案总数 8后有92组解


void display()
{
    int i,j;
     
    cout<<"第"<<sum+1<<"个解决方案-->";
    for(i=0;i<NumQueen;i++)
        {
            for(j=0;j<NumQueen;j++)
                if(queen[i]==j)
                    cout<<"("<<i+1<<","<<queen[i]+1<<")";
        }
    cout<<endl;
    sum++;//解的组数


}
bool check(int k)
{
    int i;
    for(i=0;i<k;i++)
        if((queen[i]==queen[k])||(abs(queen[i]-queen[k])==abs(i-k)))
            return false;
    return true;
}


 void putQueen(int k)
 {
     int i;
     for(i=0;i<NumQueen;i++)
     {
         queen[k]=i;
         if(check(k))
         {
             if(k==NumQueen-1)
                  display();
             else
                 putQueen(k+1);
         }
     }
 }
 int main()
 {
     cout<<"方按,其中（行标，列标）为皇后的位置\n\n";
     putQueen(0);
     cout<<"\n共有"<<sum<<"个方案\n";

 }

怎么理解上面递归的代码？

上面k=0开始，我们也可以从k=1开始。

对照这幅图理解；

、f(1)  for(i=1) a[1]=1; 调用f(2)

f(2) for(int i=1 check(a,1)不满足条件，i=2;a[2]=2;不满足条件i=3,a[2]=3,满足 调用f(3)

f(3) for循环完成后 

check(a,k)还是不满足退出。

注意是f(2)调用f(3)的，f(3)完成退出后，由于没有进入

下一次递归，于是就再次运行(这是算法的关键点）

for(i=1;i<=n;i++)
{
　　a[k]=i;
..
}
由于上次i=3,这次i=4 a[2]=4.

 还有一点要理解，上面的代码为什么会输出全部的解？

 原因还是跟上面的一样，

if(k==NumQueen-1)
                  display();
 else
                 putQueen(k+1);

输出完成后没有进入下一次递归，又进入了下一次循环。

程序是怎么退出的，可以从整体理解。

f(1)时for循环内a[i]=n+1就退出了。

问？递归代码怎么只输出一个解？

最开始我们尝试在

if(k==NumQueen-1)
                  display();

后面加个break;
但是不起作用，还是输出了全部解。

输出全部解自己写的代码：

void nQueens4(int a[],int n,int k)
{
    int i;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[k]=i;
        if(check(a,k))
        {
            if(k==n)
            {
                count++;
                output(a,n);
         
            }
            else
            {
                nQueens4(a,n,k+1);
            }
        }
    }
}

上面的代码和下面的一样：

void nQueens5(int a[],int n,int k)
{
    if(k>n ) {count++;output(a,n);}
    else
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            a[k]=i;
            if(check(a,k))
            {
                nQueens5(a,n,k+1);
            }
        }
    }
}

你知道为什么吗？（第二种方式用的比较多）