求a^b mod p
b比较大,可以利用二分法。
b=b(n)*2^n+b(n-1)*2^(n-1)++........b1*2^1+b0
从高位到低位扫描。
a^b mod p = ((a%p)^b) mod p
求 3333^5555(%10)
=3^5555(%10)
3^4=81
3^4(%10)=1
根据(a*b)%p=(a%p * b%p)%p
5555=4*1388+3
3^5555(%10)=(3^(4*1388)*(3^3))(%10)
=(1*7)%10
=7
算法1 简单算法:
int modexp_simple(int a,int b,int n) { int ret = 1; while (b--) { ret = a * ret % n; } return ret; }
算法2:另一种算法利用了二分的思想,可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为:b = p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +…+ p(1)*2 + p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1
这样 a^b = a^ (p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +...+ p(1)*2 + p(0))
= a^(p(n)*2^n) * a^(p(n-1)*2^(n-1)) *...* a^(p(1)*2) * a^p(0)
对于p(i)=0的情况, a^(p(i) * 2^(i-1) ) = a^0 = 1,不用处理
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况
化简:a^(2^i) = a^(2^(i-1) * 2) = ( a^( p(i) * 2^(i-1) ) )^2
(这里很重要!!具体请参阅秦九韶算法:http://baike.baidu.com/view/1431260.htm)
参考:
http://blog.csdn.net/lsldd/article/details/5506933