poj 1061 青蛙的约会

青蛙的约会

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Description

两 只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它 们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去， 总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙 是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的 数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。 现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

思路：求(x+t*n)%L==(y+t*m)%L;的最小整数解；重点在于解:k*(m-n)+t*l=y-x 中k与t的最小值(t为引进的一整数)；

先暴搜一回合；TLE了；

别人的思路：扩展欧几里德算法；

/*先说下欧几里德算法：最大公约数（greatest common divisor）缩写为gcd。

⒈ 令r为a/b所得余数（0≤r<b）

若 r= 0，算法结束；b 即为答案。

⒉ 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。

扩展欧几里德定理
对于与不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数。那么存在整
数 x,y 使得 gcd(a,b)=ax+by。(貌似 x,y 也是唯一的,这个我不是太清楚的)。
最重要的是怎么理解下面的代码了:
#inc lude<iostream>
using namespace std;
int x,y,q;
void extend_Eulid(int a,int b)
{
if (b==0)
{
x=1; y=0; q=a;
}
else
{
extend_Eulid(b,a%b);
int temp=x;
x=y; y=temp-a/b*y;
}
}
int main()
{
int a,b;
cin>>a>>b;
if (a<b) swap(a,b);
extend_Eulid(a,b);
printf("%d=(%d)*%d+(%d)*%d ",q,x,a,y,b);
}
求解 x,y 的方法的理解
我们不妨设 a>b。
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,ab<>0 时
设 ax1 +by1 =gcd(a,b);
bx2 +(a%b)y2 =gcd(b,a%b);
根据朴素欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a%b);
则:ax 1 +by1 =bx2 +(a%b)y2 ;
即:ax 1 +by1 =bx2 +(a-(a/b)*b)y2 =ay2 +bx2 -(a/b)*by2 ;
根据恒等定理得:x1 =y2 ; y1 =x2-(a/b)*y2 ;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是递归定义了,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以
结束。
有了这个分析,extend_Eulid 函数的理解也就不难了。*/

get一个小技巧  freopen("input.txt","r",stdin);

功能：简单说，就是实现重定向。把预定义的几个标准流文件(stdin, stdout, stderr)定向到由path指定的文件中。
freopen("debug\in.txt","r",stdin)的作用就是把stdin重定向到debug\in.txt文件中，这样在用cin或是
用scanf输入时便不会从标准输入流提取数据。而是从in.txt文件中获取输入。只要把输入事先粘贴到
in.txt，调试时就方便多了。



理解了欧几里得，这道题算是解了一半。然后要做的就是对普通的ax+by=d(d并不一定是gcd(a,b))求解。
详细分析过程见http://blog.csdn.net/SwordHoly/article/details/4423543
最后解得kmin=(k0*(b/d)) mod (l/d);tmin=(t0*(b/d))mod(a/d);

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
using namespace std;
long long x,y,m,n,L,k,t,q;
void extend_gcd(long long a,long long b){
    if(b==0){
        k=1;t=0;q=a;
    }
    else{
        extend_gcd(b,a%b);
        int temp=k;
        k=t;t=temp-(a/b)*t;
    }
}
int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    cin>>x>>y>>m>>n>>L;
    long long a,b;
    a=m-n;
    b=y-x;
    if(a<0){a=-a;b=-b;}
    extend_gcd(a,L);
    if(b%q!=0)
        cout<<"Impossible"<<endl;
    else{
        k=k*b/q;
        t=t*b/q;
        L=L/q;
        if(k>=0)
            k=k%L;
        else
            k=k%L+L;
        if(k==0)
            k=1;
        cout<<k<<endl;
    }
    return 0;
}