【bzoj3105】新Nim游戏

Portal--> bzoj3105 新Nim游戏

Solution

　　转化一下问题

　　首先看一下原来的Nim游戏，先手必胜的条件是：每堆数量的异或和不为(0)

　　所以在新的游戏中，如果要保证自己（先手）有必胜策略的话，那必须要保证到一开始先手拿走若干堆之后，后手无法拿走若干堆使得剩下每堆的数量异或和为(0)，也就是说我们要留下的应该是一个极大线性无关组

　　线性无关组这个的话我们可以通过线性基解决，具体的话就是如果(insert)完了之后这个数被变成了(0)，那么说明这个数和线性基里面的数线性相关

　　容易注意到(insert)的顺序会有影响，那么现在的问题就是，应该选取哪些数作为线性基（或者说应该按照什么顺序把那堆数插到线性基里）

　　先把结论摆出来：实际上只要按照从大到小的顺序贪心地加就好了

　　为什么可以贪心呢？

　　

　　这里需要借助一个很神奇的东西：Portal-->拟阵

　　

​　　我们设(n)个火柴堆的数目为集合(S)，如果(S)的某个子集(R)不存在任何一个非空子集异或和为(0)，那么(Rin I)

　　接下来我们来证明一下(M=(S,I))是一个拟阵

　　1、首先(S)肯定是一个有限集

　　2、遗传性：设(Ain I)，则由定义可知(A)不存在任何一个非空子集满足异或和为(0)，所以对于任意(B subseteq A)，(B)都满足不存在任何一个非空子集异或和为(0)（因为(B)的子集也是(A)的子集），所以(Bin I)，所以(I)是遗传的

　　3、交换性质：设(，A，Bin I)，且(|B|>|A|)，我们现在要证明(exists xin B-A)使得(Acup{x}in I)，这里考虑用反证法：假设对于(forall xin B-A)均有(Acup {x} otin I)，则(B-A)中的元素均可以由(A)的某个子集的异或和表示，因此我们可以得到结论(B)中的所有元素均可以由(A)的某个子集的异或和来表示。但是这与我们前面的假设(|B|>|A|)是矛盾的，所以假设不成立，得证。

​　　我们将(M=(S,I))看成一个带权拟阵，每个(S)中的元素的权值就是对应的堆中火柴的数量，那么运用贪心算法我们就可以在带权拟阵中找出权值最大的基

　　所以就能直接用贪心做啦

​ 　　

　　代码大概长这个样子：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=110,UP=30;
int a[MAXN];
int n,m;
ll ans;
namespace xxj{
    int a[UP+1];
    bool insert(int x){
        for (int i=UP;i>=0;--i)
            if (x&(1<<i)){
                if (!a[i]){
                    a[i]=x;
                    break;
                }
                x^=a[i];
            }
        return x;
    }
}
 
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i);
    sort(a+1,a+1+n);
    ans=0;
    for (int i=n;i>=1;--i)
        if (!xxj::insert(a[i])) 
            ans+=a[i];
    printf("%lld
",ans);
}