【bzoj4004】装备购买

Portal-->bzoj4004

Solution

　　这题的话。。其实就是求(n)个(m)维向量的极大线性无关组，并且要求权值最大

　　然后套路什么的跟Portal-->bzoj3105和bzoj2460差不多，后面那题比较裸就没有写博了qwq

　　与这两题不同的是，这里换成了向量的线性无关

　　那其实写起来跟线性基差不多，本质上还是高斯消元，我们把一个向量看成矩阵中的一行，然后枚举去消这个向量的每一维，如果这个向量最终被消为零了那么就不能加进去作为基，否则的话就存在第一个没有被消为零的那一位中，与线性基不同的只是消的时候的运算变回了正常的高消方式而已

　　然后就是加入的顺序，依旧还是按照价值排序然后直接贪心

　　具体证明什么的还是要用到Portal-->拟阵

　　我们将每个装备看成一个(m)维向量，将这(n)个向量的集合记为(S)，如果(S)的一个子集(R)不存在任何一个非空子集存在满足题目中的替换条件的元素（也就是线性相关），那么(Rin I)

　　然后就是证明这个东西是个拟阵：

　　1、(S)肯定是有限集合

　　2、遗传性：设(Ain I)，由定义知(A)不存在任何一个非空子集存在满足替换的元素，所以对于任意(Bsubseteq A)，都有(B)满足这个性质（(B)的子集就是(A)的子集），所以(Bin I)，所以(I)是遗传的

　　3、交换性质：设(A,Bin I)，且(|B|>|A|)，要证明(exists xin B-A)使得(Acup {x}in I)，反证一波：假设对于(forall xin B-A)均有(Acup {x} otin I)，那么(B-A)中的包含的向量均可以写成(A)的某个子集中向量的线性表示，所以(B)中所有的向量都可以写成(A)的某个子集中向量的线性表示，然后这个与前面的(|B|>|A|)是矛盾的，所以假设不成立，得证

（然后就发现这个东西的证明怎么跟bzoj3105的几乎一喵一样。。。把异或和为(0)换成了线性表示而已。。）

　　然后就可以给这个拟阵(M)关联一个权值函数(w)，每个(S)中的向量对应的权值就是这件装备的价值，然后子集的权值就是包含向量的权值和

​　　然后愉快贪心

（然后莫名其妙感觉自己写了两篇一喵一样的博。。。可能是错觉）

　　哦对以及b站的数据加强了一波所以要用long long否则会炸精度出锅qwq

​　　

　　代码大概长这样

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ld long double
using namespace std;
const int MAXN=510;
const ld eps=1e-8;
struct Data{
	ld a[MAXN];
	int val;
	friend bool operator < (Data x,Data y)
	{return x.val<y.val;}
}a[MAXN];
int base[MAXN];
int n,m,ans,cnt;
void solve();

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("a.in","r",stdin);
#endif
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=m;++j)
			scanf("%Lf",&a[i].a[j]);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&a[i].val);
	sort(a+1,a+1+n);
	solve();
	printf("%d %d
",cnt,ans);
}

void solve(){
	ans=0; cnt=0;
	ld tmp;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=m;++j){
			if (fabs(a[i].a[j])>eps){
				if (!base[j]){
					base[j]=i;
					++cnt; ans+=a[i].val;
					break;
				}
				else{
					tmp=a[i].a[j]/a[base[j]].a[j];
					for (int k=1;k<=m;++k)
						a[i].a[k]-=a[base[j]].a[k]*tmp;
				}
			}
		}
}