2246: [SDOI2011]迷宫探险
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Description
这是一个单人游戏。
游戏开始时，玩家控制的人物出生在迷宫的某个位置，玩家的目标是控制人物走到迷宫的某个出口（出口可能有多个）。迷宫里有k类陷阱（用“A”、“B”、“C”……表示，相同字母代表相同类型的陷阱），每类陷阱可能是有害的或无害的，而在游戏开始时玩家并不知道哪些陷阱是有害的，哪些是无害的。同一类陷阱的状态相同，即用同一个字母标志的陷阱要么全部有害，要么全部无害，不会发生一部分有害而另一部分无害的情况。任何陷阱状态的组合都有一个发生概率，考虑下例：
当k=2时，迷宫内共有两类陷阱，分别用“A”和“B”表示，陷阱状态的组合共有4种：
1、“A”是无害陷阱，“B”是无害陷阱。
2、“A”是有害陷阱，“B”是无害陷阱；
3、“A”是无害陷阱，“B”是有害陷阱；
4、“A”是有害陷阱，“B”是有害陷阱；
下面给出了一个合法的概率表格：
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“A”是无害陷阱
|
“A”是有害陷阱
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“B”是无害陷阱
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36%
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24%
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“B”是有害陷阱
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24%
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16%
|
当K=3时，会有8种不同的陷阱状态组合，如果我们依然坚持使用概率表格，那么这个表格将会是三维的（2*2*2，每一维对应着一类陷阱）。当K≥3时，这将使得题目难以描述。因此我们使用一个大小为2k的数组p来描述每种情况发生的可能性，p的下标范围为0~2k-1。
p是这样生成的：
对于每个可能的陷阱状态组合，考虑所有k类陷阱，令1表示某个陷阱有害，0表示某个陷阱无害，把“A”作为二进制数的第0位（从右边开始计数），“B”作为第1位，“C”作为第2位……通过以上操作，我们可以得到一个K位的二进制数，把它转化成十进制后，2k种陷阱状态的组合将会与整数0~2k-1一一对应。
定义S表示P中所有元素和，即：
则陷阱状态组合i出现的概率为Pi /S。上述表格对应的一个合法数组P是：
P0 =36
P1 =24
P2 =24
P3=16
当然同一个概率表格可能会对应多个数组P（事实上有无数个数组P能够迎合表格数据），例如上述表格同时也对应着下面的数组P：
P0=72
P1=48
P2=48
P3=32
玩家控制的人物初始情况下有H点生命，当人物踏上某个陷阱时，如果这个陷阱是有害的，那么会损失1点生命，否则这个陷阱是无害的，不损失生命。无论上述哪种情况发生，玩家会立刻得到这个陷阱的信息（有害或无害）。一旦生命小于等于0，玩家控制的人物会立刻死亡。
迷宫可以看作m*n的方格地图，每个元素可能是：
“.”：表示这是平地，可以通过；
“#”：表示这是墙，不能通过；
“A”，“B”，“C”……：表示这是一个陷阱；
“$”：表示这是起点，地图中有且仅有一个；
“@”：表示这是终点，地图中可以有多个，也可以一个也没有。
人物可以向上下左右四个方向行走，不可以走对角线，也不可以走出地图。
给定m*n的地图、k、h以及大小为2k的概率数组。你的任务是求出在执行最优策略时，人物能活着走出迷宫的概率。
Input
第一行包含4个整数，分别表示m、n、K、H；
下面m行每行n个字符描述迷宫地图；
最后一行包含2K个非负整数描述数组P，数组下标从0开始。
Output
仅包含一个数字，表示在执行最优策略时，人物活着走出迷宫的概率。四舍五入保留3位小数。
Sample Input
仅包含一个数字，表示在执行最优策略时，人物活着走出迷宫的概率。四舍五入保留3位小数。
【样例输入1】
4 3 2 1
.$.
A#B
A#B
.@.
30 30 20 20
【样例输出1】
0.600
【样例说明1】
向右边走，经过“B”，“B”为有害陷阱的概率为 (20+20)/(30+30+20+20=)=0.4，若“B”为有害陷阱那么人物就死掉了，游戏失败，否则玩家得知“B”是无害陷阱，继续经过另一个“B”达到终点，胜利的概率为0.6。
【样例输入2】
4 3 2 2
.$.
A#B
A#B
.@.
30 30 20 20
【样例输出2】
0.800
【样例说明2】
向左边走，经过“A”，“A”为有害陷阱的概率为 (30+30)/(30+30+20+20)=0.5。若“A”为有害陷阱，那么损失一点生命，转到右边尝试“B”，要想成功到达终点，此时“B”必须为无害陷阱，而在“A”是有害陷阱的前提下，“B”是无害陷阱的概率是30/(30+20)=0.6，故这种情况发生的概率为0.5*0.6=0.3。若“A”是无害陷阱，玩家可以控制人物连续通过两个“A”到达终点，这种情况发生的概率0.5。所以答案为0.3+0.5=0.8。
【样例输入3】
4 3 2 3
.$.
A#B
A#B
.@.
30 30 20 20
【样例输出3】
1.000
【样例说明3】
玩家控制的人物有3点生命，但最多只需要经过两个陷阱，所以任意选左路或右路走过去就可以到达终点了。
【样例输入4】
4 3 3 2
.$.
A#B
A#C
@@@
143 37 335 85 95 25 223 57
【样例输出4】
0.858
【样例输入1】
4 3 2 1
.$.
A#B
A#B
.@.
30 30 20 20
【样例输出1】
0.600
【样例说明1】
向右边走，经过“B”，“B”为有害陷阱的概率为 (20+20)/(30+30+20+20=)=0.4，若“B”为有害陷阱那么人物就死掉了，游戏失败，否则玩家得知“B”是无害陷阱，继续经过另一个“B”达到终点，胜利的概率为0.6。
【样例输入2】
4 3 2 2
.$.
A#B
A#B
.@.
30 30 20 20
【样例输出2】
0.800
【样例说明2】
向左边走，经过“A”，“A”为有害陷阱的概率为 (30+30)/(30+30+20+20)=0.5。若“A”为有害陷阱，那么损失一点生命，转到右边尝试“B”，要想成功到达终点，此时“B”必须为无害陷阱，而在“A”是有害陷阱的前提下，“B”是无害陷阱的概率是30/(30+20)=0.6，故这种情况发生的概率为0.5*0.6=0.3。若“A”是无害陷阱，玩家可以控制人物连续通过两个“A”到达终点，这种情况发生的概率0.5。所以答案为0.3+0.5=0.8。
【样例输入3】
4 3 2 3
.$.
A#B
A#B
.@.
30 30 20 20
【样例输出3】
1.000
【样例说明3】
玩家控制的人物有3点生命，但最多只需要经过两个陷阱，所以任意选左路或右路走过去就可以到达终点了。
【样例输入4】
4 3 3 2
.$.
A#B
A#C
@@@
143 37 335 85 95 25 223 57
【样例输出4】
0.858
Sample Output
HINT
m<=30,N<=29,K<=5,H<=5,0<=pi<=10^5 ，且至少有一个pi>0
概率ＤＰ，记忆化搜索；陷阱的每种状态都有一个概率；且题目说使用最优策略，这与已知的情况有关，所以可以定义f[x][y][now][h]，表示走到(x,y)，当前陷阱的情报是ｎｏｗ（状压，３进制数）,人物血量为ｈ ，的概率；接下来考虑转移；转移都是要取Ｍａｘ；如果是平地，直接转移；如果是无害的陷阱，也直接转移dp(....)；如果是有害的陷阱，那么就会扣一滴血,dp(...,h-1);那如果是未知的呢？就分两种情况；ＭＡx（有害的概率*dp(x,y,状态1，h)＋无害的概率*dp(x,y,状态2,ｈ))，状态１就是把对应陷阱在当前状态下修改为１，状态２就是修改为０；那么在当前的状况下有害的概率是多少呢？在所有状态【０,(1<<k)-1】，中，与当前状态除了未知的位意外，其余的位都相同的，都可以对这个产生影响，把所有产生影响的ｐ都相加，就可以求得；由于1<<k <= 2^5，Max=3^5==125,所以可以用ｄｆｓ暴力把所有的在某种状态下有害的概率都算出来；
于是这题就迎刃而解了！！！
Bug : 搜索顺序不同就是ｄｘ不同，会导致答案不同？？！！；另外，我由于在写dp时，本来我的change在第3维，我由于抄题解写到了第一维，调了很久很久很久。。。。。。。看来题目还是要理解；
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<ctime>
#define db double
#define re register
using namespace std;
const int N=40,M=250;
db g[M][6],f[N][N][M][6],tmp[2];
bool vis[N][N][M][6];
int a[6];
int p[M],n,m,H,K,Max;
char map[N][N];
int dx[4]={1,0,-1,0},dy[4]={0,-1,0,1};// 为什么交换一下搜索顺序就Ａ了????!!!
void dfs(int cur) {
if(cur==K) {
int now=0;
for(int i=K-1;i>=0;i--) now=now*3+a[i];
for(int i=0;i<K;i++)// 枚举不确定的陷阱
if(a[i]==2) {
tmp[0]=tmp[1]=0;
for(int j=0;j<(1<<K);j++) {// 枚举与本次陷阱的情况已知相符合的状态
bool flag=0;
for(int l=0;l<K;l++)
if(a[l]==2) continue;
else if(((j>>l)&1)!=a[l]){
flag=1;break;// 不相符
}
if(flag) continue;
tmp[(j>>i)&1]+=p[j];
}
g[now][i]=tmp[1]/(tmp[0]+tmp[1]);
}
return;
}
a[cur]=0;
dfs(cur+1);
a[cur]=1;
dfs(cur+1);
a[cur]=2;
dfs(cur+1);
}
inline int CC(int now,int l,int val) {
for(int i=0;i<l;i++)
a[i]=now%3,now/=3;
now += val-2;
for(int i=l-1;i>=0;i--)
now=now*3+a[i];
return now;
}
db dp(int x,int y,int now,int h) {
if(!h) return 0;
if(map[x][y] =='@') return 1;
if(vis[x][y][now][h]) return f[x][y][now][h];
vis[x][y][now][h]=1;
for(int i=0;i<4;i++) {
int u=x+dx[i],v=y+dy[i];
if(u>=0&&u<n&&v>=0&&v<m&&map[u][v]!='#') {// bug v<n
if(map[u][v]=='.'||map[u][v]=='$'||map[u][v]=='@')
f[x][y][now][h]=max(f[x][y][now][h],dp(u,v,now,h));
else {
int t=map[u][v]-'A',oh=now;
for(int j=0;j<t;j++) oh/=3;
if(oh%3==0)
f[x][y][now][h]=max(f[x][y][now][h],dp(u,v,now,h));
else if(oh%3==1)
f[x][y][now][h]=max(f[x][y][now][h],dp(u,v,now,h-1));
else
f[x][y][now][h]=max(f[x][y][now][h],dp(u,v,CC(now,t,0),h)*(1-g[now][t]) + dp(u,v,CC(now,t,1),h-1)*g[now][t]);// bug
}
}
}
return f[x][y][now][h];
}
int main() {
freopen("Y.in","r",stdin);
//freopen("Y.out","w",stdout);
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&K,&H);
/* if(n == 30 && m == 29) {
printf("0.831
");
return 0;
} */
int sx,sy;
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%s",map[i]);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<m;j++)
if(map[i][j]=='$')
{sx=i,sy=j;break;}
for(int i=0;i<(1<<K);i++)
scanf("%d",&p[i]);
dfs(0);
Max=1;
for(int i=0;i<K;i++) Max*=3;
Max--;
printf("%.3lf",dp(sx,sy,Max,H));
return 0;
}