分硬币问题

分硬币问题是一个很有意思的问题，一般可以用recursive或者dp来解决。Reference里面acm之家的文章分析得很好，下面我自己再重复一边这个过程。这道题也可以联想到其他dp过程。

题目很简单: 给定一堆硬币coins[]， 数量管够，硬币有m种不同的面值，求组成 n 元钱有多少种不同的方法。

1. 首先我们考虑递归。
   1. 当n < 0的时候，我们返回0
   2. 当n = 0的时候，我们返回1，只有一种组合就是所有硬币都取0个
   3. 当m <= 0的时候，没有可以用的硬币种类了，我们返回0
   4. 其他情况，我们可以分为两种
      1. 不使用第m种硬币，那么我们可以递归求解子问题，结果应该是count(coins, m - 1, n)
      2. 至少使用一次第m种硬币，也是分解为相同子问题，结果是count(coins, m, n - coins[m - 1])
2. 接下来我们考虑用dynamic programming来解决，也就是把上面的逻辑转换为记忆化搜索
   1. 首先我们要建立一个数组dp[][] = new int[n + 1][m]
   2. 初始化这个数组，把第一行设置为1。因为这里n = 0，所以我们每个硬币都只有一种方法，就是不选择这些硬币，所以第一行都为1
   3. 当i 从 1 到  dp.length， j从0到m进行遍历的时候，我们依然是分为两种情况进行考虑
   1. 使用第j种硬币:
      1. 那么假如当前  i - coins[j] >= 0的话，我们可以使用第j种硬币，相应的值为dp[i - coins[j]][j]。意思是我们减掉这个coins[j]的值，到之前已经保存的i - coins[j]这一行的第j列去看有多少种方法
      2. 否则我们不能使用这类硬币，值为0
   2. 不适用第j种硬币:
      1. 那么假如j > 1的话，我们可以有多少种方法完全决定于同一行内的上一个数据dp[i][j - 1]
      2. 否则值为0
   3. 把这两种情况综合一下 x + y， 就是dp[i][j]应该有的值了。
3. 接下来我们对上面的dp进行空间上的简化，用滚动数组来代替二维数组:
   1. 声明一个滚动数组table = new int[n + 1]
   2. table[0] = 1
   3. 当i 从 0 到 m， j 从dp[i] 到 n + 1遍历的时候 table[j] += table[j - coins[i]]
   4. 举个例子，假如 n = 10，我们有1， 2 ，5这三种硬币，那么过程如下
      1. 初始化　　              [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
      2. 使用1                     [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
      3. 使用1和2                [1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6]
      4. 使用1,2和5             [1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10]

C#:

2D DP

            int[] coins = { 1, 2, 5 };
            int m = coins.Length;
            int n = 100;
            int[,] dp = new int[n + 1, m];
            for (int i = 0; i < m; i++)
            {
                dp[0, i] = 1;
            }

            for (int i = 1; i < n + 1; i++)         // 2d dp
            {
                for (int j = 0; j < m; j++)
                {
                    int x = (i - coins[j] >= 0) ? dp[i - coins[j], j] : 0;
                    int y = (j > 0) ? dp[i, j - 1] : 0;
                    dp[i, j] = x + y;
                }
            }
            Console.WriteLine(dp[n, m - 1]);

滚动数组DP

            int[] coins = { 1, 2, 5 };
            int m = coins.Length;
            int n = 100;
         
            int[] table = new int[n + 1];
            table[0] = 1;
            for (int i = 0; i < m; i++)
            {
                for (int j = coins[i]; j < table.Length; j++)
                {
                    table[j] += table[j - coins[i]];
                }
            }
            Console.WriteLine(table[n]);

Update:  6-20-2016

To be updated:  

1. n元钱有多少种组成方式

2. 最少可以用多少个硬币来组成n元钱

Reference:

http://www.acmerblog.com/dp6-coin-change-4973.html

http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-7-coin-change/