算法——分而治之大数相乘

  分而治之是我们学习算法时遇到的第一种方法，它的原理很简单。

  1、将一个问题的实例划分为一个或较多个较小的实例/

  2、解决每一个较小的实例。

  3、合并较小的实例，获得原实例的答案。

　我们通过分而治之的方法解决的问题，大致有我们曾接触过的快排，Strassen矩阵乘法，大整数乘法。我们往往做题中接触最多的便是大整数乘法，今天我们就以此为例来解释一下分而治之的思想，并解决一下如何进行大整数乘法。

　我们都知道在程序中int类型是有范围的，那么当我们遇到超过范围的数字又该怎么办那？

　很简单，用我们刚刚所讲到的分而治之，我们可以将一个很长的数字分割到我们可接受的范围，比如这样1234567891313213213，用字符串来存储并将其123/4567/8913/1321/3213这样分割成几份，分别相乘，通过加减来得到最后的结果。

　　比如我们计算  464546545456*132123132=？

　　我们这样来 464546545456 = 46454*10e7+6545456

　　　　　　　 132123132 = 13*10e7+2123132

　　　　　　　 464546545456*132123132= （46454*10e7+6545456）*（13*10e7+2123132）来计算

　　　　　　　 用公式表示

　　　　　　　u = x*10em+y

　　　　　　　v = w*10em+z

　　　　　　　uv = (x*10em+y)*(w*10em+z) = xw*10e2m+(xz+wy)*10em+yz

　　　　　　　当然如果分开后的数字仍然过大，我们完全可以采用递归的方法，将其继续分割，直到我们规定的阈值。

　　代码如下

largBig bigMul(string u,string v){
	
	int ns1 = u.length()/2;
	int ns2 = v.length()/2;
	int n = ns1>ns2?ns1:ns2;
		
	if(s1.length()==0||s2.length()==0){
		return 0;
	}else if(n<=4){
		return u*v;//常规乘法
	}else{
		m = n/2;

		x = u divide 10em; y =u rem 10em;		
                w = v divide 10em; z =v rem 10em;	
 
		return  bigMul(x,w)*10e2m+(bigMul(x,z)+bigMul(w,y))*10em+bigMul(y,z);
	}    

　　上面的代码很好的展示了，如何用分治法计算大数相乘。

　　这里是具体实现，将二分改为将每一个数字看作一份，所以效率较低。

　　

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>

using namespace std;
int main(){
    vector<int> aa,bb,cc;
    string a,b;
    cin>>a>>b;
    for(int i=a.size()-1;i>=0;i--)
        aa.push_back(a[i]-'0');
    
    for(int i=b.size()-1;i>=0;i--)
        bb.push_back(b[i]-'0');
    
    for(int i=0;i<a.size()+b.size();i++)
        cc.push_back(0);


    //处理乘法
    for(int i=0;i<aa.size();i++){
        for(int j=0;j<bb.size();j++){
            cc[i+j]+=(aa[i]*bb[j])%10;
            cc[i+j+1]+=(aa[i]*bb[j])/10;
            //cout<<'\n'<<cc[i+j]<<" "<<cc[i+j+1];
        }
        //cout<<cc[i]<<"     "<<'\n';
    }

    //处理进位
    for(int i=0;i<aa.size()+bb.size()-1;i++){
        cc[i+1]+=cc[i]/10;
        cc[i]=cc[i]%10;
    }
        

        //将首位为0抹去
    if(cc[aa.size()+bb.size()-1]!=0){
        cout<<cc[aa.size()+bb.size()-1];
    }
    for(int i=aa.size()+bb.size()-2;i>=0;i--){
            cout<<cc[i];
    }
    return 0;
    
    
}