BZOJ3309 DZY loves Maths

Description

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定义 (f(n)) 为 (n) 所含质因子的最大幂指数

求

[sum _ {i=1}^{n} sum_{j=1}^{m} f(gcd(i,j)) ]

[n,mle10^7 ]

Solution

把 (gcd) 提出来，然后用一下两个套路可以轻松得到这个式子

[sum _ {T=1}^n lfloor frac n T floorlfloor frac m T floor sum _ {p|T} mu(p) f(frac T p) ]

然后瓶颈在于怎么处理后面的部分

令(g(x)=f * g= sumlimits _ {p|T} mu(p) f(frac T p))

所以瓶颈就在线性筛 (g(x))

我们注意到这个含有高次因子的 (mu(x)) 的值都是 (0)

同时(f(x)) 是满足互质 (max)

然后就不会了……（看题解看题解……）link

其实后面是分析部分：

对 (p) 分类讨论，如果 (p) 含有平方因子，对答案没有贡献，所以

[f(frac x p)=f(x) or f(x)-1 ]

那么把求和转化成对于 (x) 的子集枚举

设最高次幂集({M}) 和 其他数集 ({O})

讨论发现如果 (f(frac x p)=f(x))

那么方案数是(2^{|O|} imes(2^{|M|-1}))

(|O|=0) 的时候会让留下来一个(f(x) or -f(x))

另一种情况的方案是(2^{|O|})种

看看 (mu) 的值还是个对半分，留下来的跟上面的那个正负性反着的

所以综上，(g_i) 只有三种取值……

就做完了

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace yspm{
	inline int read()
	{
		int res=0,f=1; char k;
		while(!isdigit(k=getchar())) if(k=='-') f=-1;
		while(isdigit(k)) res=res*10+k-'0',k=getchar(); 
		return res*f;
	}
	#define ll long long
	const int N=1e7+10;
	int pri[N],cnt,fl[N],g[N],f1[N];
	inline void prework()
	{
		for(int i=2;i<N;++i) 
		{
			if(!fl[i]) pri[++cnt]=i,g[i]=1,f1[i]=1;
			for(int j=1;j<=cnt&&1ll*i*pri[j]<1ll*N;++j) 
			{
				fl[pri[j]*i]=1;
				if(i%pri[j]==0) break;
				else if(f1[i]) g[i*pri[j]]=-g[i],f1[i*pri[j]]=1;
			}
			if(f1[i]) 
			{
				for(ll j=1ll*i*i;j<1ll*N;j*=i) g[j]=g[i];
			}
		}
		for(int i=1;i<N;++i) g[i]+=g[i-1];
		return ;
	}
	inline void work()
	{
		ll ans=0; int n=read(),m=read(); if(n>m) swap(n,m);
		for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
		{
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			ans+=1ll*(g[r]-g[l-1])*(m/l)*(n/l);
		} cout<<ans<<endl;
		return ;
	}
	signed main()
	{
		prework();
		int T=read();
		while(T--) work();
		return 0;
	}
}
signed main(){return yspm::main()}